15. Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Если функции   и   дифференцируемысоответственно в точках   и  , где  , то   — дифференцируема в точке  , причём  .

Доказательство

Т.к. функции   и   непрерывны, то   — непрерывны в точке   определена в 

, где  Теорема доказана.

16. Теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g обращается в нуль g(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.

Отсюда 

g(c+x)  g(c) x  0,   x > 0

g(c+x)  g(c) x  0,   x < 0

Переходим к пределу и получаем одновременно g(с)  0 и g(с)  0, следовательно, g(с)=0.

Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается 

y=1(x2)1/3

2. Теорема. Лагранжа. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство 

   g(b)g(a)=g(c)(ba)

3. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции 

   g(x)g(a)(xa)Q,

4. где 

   Q=(g(b)g(a))/(ba)

5. Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h(x)  0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство 

   g(b)g(a) h(b)h(a) = g(c) h(c)

6. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции 

   g(x)g(a)(h(x)h(a))Q,

7. где 

   Q=(g(b)g(a))/(h(b)h(a))

8. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения g(x)/h(x) при x a, то существует и 

   lim x a  g(x)/h(x)

9. причем 

lim x a  g(x)/h(x)= lim x a  g(x)/h(x

17. Определение дифференциала

Рассмотрим дифференцируемую функцию y=f(x). Так как  , то  . Следовательно,  .

В общем случае f'(x) ≠ 0, и при постоянном x произведение f'(x) Δx является малой величиной первого порядка, а произведение αΔx - малой величиной выше первого порядка относительно Δx. Таким образом, на приращение функции Δy в первую очередь оказывает влияние f ' (x) Δx.

Определение 4. Произведение f ' (x) Δx называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy или df(x), т.е. dy = f'(x)Δx   (6)

Так как производная функции y = x равна единице, то дифференциал этой функции равен приращению аргумента, т.е. dx = Δx. Таким образом, формулу (6) можно записать следующим образом dy = f'(x)dx   (7)

2) Свойства дифференциала:

1. d(C)=0, где C− постоянная;

2. d(C1u+C2v)=C1du+C2dv;

3. d(uv)=udv+vdu;

4. d(uv)=vdu−udvv2;

5. Пусть z(x)=z(y(x))− сложная функция, образованная компазицией функций y=y(x) и z=z(y). Тогда

dz(x,dx)=z′(y)dy(x,dx),

то есть выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение dz(x,dx)=z′(x)dx. Это утверждение называется инвариантностью формы 1-го дифференциала.