2) Частная производная
Производная функции двух или более независимых переменных по любой из них при фиксированных остальных. Так, если y = f(x,z), то частная производная у по х представляет собой производную у по х; при этом z остается константой. Это записывается так: ду/дх или иногда fx, или f1; производная f(.) по х,ее первый аргумент. Подобным образом частная производная у по z является производной у, взятой по z; при этом х остается константой. Это записывается так:дy/дz или иногда fz или f2, производная f(.) от z, ее второй аргумент.
В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
В
явном виде частная производная функции
в
точке 
определяется
следующим образом:
14.
§ 4. Дифференцируемость функции нескольких переменных
1. Дифференцируемые функции нескольких переменных.
Пусть
функция двух переменных
определена в некоторой открытой области
плоскости
,
– точка области
.
Придавая переменным приращения
и
,
перейдем из точки
в какую-нибудь точку
той же области. При этом функция
получит приращение
.
В
отличие от частных приращений
и
это приращение называется полным
приращением
функции
в точке
,
соответствующим приращениям
и
независимых переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке может быть записано в виде
, (4.1)
где
– некоторые числа,
– бесконечно малые при
,
(или, короче при
).
Замечание.
Функции
и
зависят от
.
Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Соотношение (4.1) можно записать и в более сжатой форме:
(4.2)
где
,
– бесконечно малая при
.
Слагаемое
,
линейное относительно
и
,
является главной
частью приращения,
так как оставшееся слагаемое
(или
,
если используется формула (4.2))
есть бесконечно малая более высокого
порядка чем
и
.
ПРИМЕР.
Функция
будет дифференцируемой в любой точке
,
так как
Здесь
– главная часть полного приращения
функции, а слагаемое
есть бесконечно малая более высокого
порядка по сравнению с
и
.
Данное выше определение дифференцируемости функции двух переменных является естественным обобщением определения дифференцируемости функции одной переменной. Следовательно, можно поставить вопрос о том, какие из свойств дифференцируемых функций одной переменной сохранятся для функции двух переменных. Так, было установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т.е. из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. На функции двух переменных эти свойства переносится в следующем виде.
2) Теорема о существовании всех частных производных ФНП
Если 
–
дифференцируемая в точке 
ФНП,
то в этой точке существует частная
производная функции по каждой координате,
т.е.
.
Доказательство.
По определению дифференцируемости ФНП
в точке имеем 
,
где 
, 
.
Пусть 
,
т.е. изменяется только одна
координата,
например 
,
а все другие координаты не
изменяются.
Тогда приращение вектора – аргумента
становится
"частным"
приращением и, соответственно, полное
приращение функции 
превращается
в частное приращение функции в точке
,
вызванное "частным" приращением
вектора – аргумента,
и обозначается
через
.
Используя
представление для
,
получим 
или 
.
Поскольку пределы слагаемых в правой
части равенства существуют,
то
существует 
.
Обратное утверждение неверно, т.е. существование частных производных ФНП в точке не гарантирует дифференцируемость ФНП в этой точке.
Контрпример.
Пусть 
Тогда
в точке 
не
является непрерывной, а значит, и не
является дифференцируемой.
Хотя
при 
,
т.е. 
–
существует; аналогично существует 
.
СЛЕДСТВИЕ. Для дифференцируемой в точке ФНП полное приращение функции можно представить в виде
или
.
Здесь
выражение 
называется
полным
дифференциалом
первого порядка ФНП
в
точке 
соответственно 
.
Так,
в рассмотренном ранее примере 1
для 
имеем 
,
здесь 
; 
; 
.
В
общем виде полный дифференциал первого
порядка функции 
в
точке 
можно
записать
.