3. Вопрос Высшая математика Гусак стр. 105 Или

Миноры и алгебраические дополнения

Определение.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы A

A =	5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Решение:

M32 =

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

=

5 1 -4 0

M11 =

1 0 0 3

= 1·3 - 0·0 = 3 - 0 = 3

M12 =

-4 0 2 3

= -4·3 - 0·2 = -12 -0 = -12

M13 =

-4 1 2 0

= -4·0 - 1·2 = 0 - 2 = -2

M21 =

7 1 0 3

= 7·3 - 1·0 = 21 - 0 = 21

M22 =

5 1 2 3

= 5·3 - 1·2 = 15 - 2 = 13

M23 =

5 7 2 0

= 5·0 - 7·2 = 0 - 14 = -14

M31 =

7 1 1 0

= 7·0 - 1·1 = 0 - 1 = -1

M32 =

5 1 -4 0

= 5·0 - 1·(-4) = 0 + 4 = 4

M33 =

5 7 -4 1

= 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Определение.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число

A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

Свойства алгебраического дополнения матрицы

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

  n
  Σ	aij·Aij = det(A)
  j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

  n
  Σ	akj·Aij = 0           (i ≠ k)
  j = 1

• Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана "произвольная" строка.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы A

A =	5 7 1 -4 1 0 2 0 3