5)Исследование регрессионной модели.

• Теснота связи между фактором и откликом. Для этой цели служит коэффициент корреляции r_{xy, rxy∈[−1,1]. Отрицательное значение rxy означает, что увеличение фактора приводит к уменьшению отклика и наоборот.

• Доля вариации отклика y, объясненная полученным уравнением регрессии характеризуется коэффициентом детерминации R2,R2∈[0,1].

6)Проверка статистической значимости уравнения регрессии.. На этом этапе производится оценка достаточно ли велик R2, чтобы говорить о существовании значимой связи между величинами x и y. Для этого рассчитывается значение F-критерия Фишера. В качестве нулевой гипотезы H0 берется предположение о равенстве 0 всех коэффициентов регрессии. Если F>F∗крит^, то H0 отвергается, иначе принимается. F∗крит^ берется из таблиц для заданного уровня значимости.

7)Характеристика оценок коэффициентов уравнения регрессии. Вычисляем стандартные ошибки - это оценка среднеквадратического отклонения дисперсии случайной величины от ее истинного значения: sb=∑e2i(n−1)∑(xi−x¯)−−−−−−−√. Сравнивая значение коэффициента с его стандартной ошибкой sb, можно судить о значимости коэффициента. Коэффициент называется значимым, если есть достаточно высокая вероятность того, что его истинное значение отлично от нуля. Для стандартных ошибок нет таблиц критических уровней, поэтому используется t-статистика.

8)Построение доверительных интервалов. На этом этапе строится интервал, в который попадет значение с заданной вероятностью.

9)Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии. В качестве H0 берется предположение, что коэффициент равен 0. Для ее проверки рассчитывается t-статистика: tb=bsb. Если |t|<tγ(n−1) – гипотеза Н0 не отвергается, т.е. выбранная переменная никакого влияния на отклик не оказывает, соответственно переменная не значима.

10)Оценка параметров множественной регрессии

• Несмещенность - математическое ожидание остатков равно 0

• Состоятельность - увеличение точности оценок с увеличением выборки

• Эффективность - оценки характеризуются наименьшей дисперсией.

11)Исследование остатков.

1 случайный характер остатков

2 нулевая средняя величина остатков, не зависящая от xi

3 дисперсия каждого отклонения εi одинакова для всех значений x.

4 отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков распределены независимо друг от друга.

Возможные причины:

• неверно выбрана функция регрессии

• имеется неучтенная объясняющая переменная (переменные)

5 остатки подчиняются нормальному распределению

Вопрос 17. Коэффициент линейной корреляции и его значимость.

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона). Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

где  ,   — среднее значение выборок.

Линейный коэффициент корреляции показывает тесную связь, существующую между признаками хну. 

Линейный коэффициент корреляции  характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. 

Соответственно линейный коэффициент корреляции и индекс корреляции совпадают. 

Исчислить линейный коэффициент корреляции и сделать выводы о размерах зависимости объема ампул от их длины. 

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе / - критерия Стьюдента. 

Аналогично определим линейные коэффициенты корреляции для временных рядов отгрузок нефтебазам своего управления и реализации через филиалы. 

Был вычислен линейный коэффициент корреляции z между парами результатов определения общих цианидов для 80 образцов воды и отходов. 

Как вычисляется линейный коэффициент корреляции и как он связан с коэффициентом детерминации. 

Требуется найти линейный коэффициент корреляции между относительной проницаемости) и импульсом давления на основе данных примера. 

Если величина линейного коэффициента корреляции отрицательная, то это говорит об обратной связи между изучаемыми признаками; если она положительная - о прямой связи. Если коэффициент корреляции равен нулю, то связи между признаками нет. Если коэффициент корреляции равен единице ( с любым знаком), то между признаками существует функциональная связь. 

Абсолютное значение линейного коэффициента корреляции не может быть больше единицы. Если коэффициент положительный, это свидетельствует о росте товарооборота с течением времени, отрицательный коэффициент показывает, что товарооборот с течением времени уменьшается. Чем ближе абсолютное значение линейного коэффициента корреляции к единице, тем связь между временем и изменением товарооборота более, тесная. 

Абсолютная величина линейного коэффициента корреляции свидетельствует о высокой тесноте связи между изучаемыми признаками, а знак минус при коэффициенте - об обратной связи. 

Упрощенным вариантом линейного коэффициента корреляции является коэффициент корреляции знаков Фехнера. При его вычислении вместо значений отклонений, от средних ( х-х) и ( у - у) используются только знаки этих отклонений. 

Если величина линейного коэффициента корреляции отрицательная, то это говорит об обратной связи между У и X; если она положительная - - о прямой связи. Если коэффициент корреляции равен единице ( с любым внаком), то между и X существует функциональная связь. И, наконец, если переменные У и X коррелированы, то тогда коэффициентом корреляции будет нуль. В этих случаях интенсивность корреляции измеряется, как будет показано позже, с помощью корреляционного отношения.