30. Множественное регрессионное уравнение в стандартизированном масштабе. Матричная форма записи множественной регрессии.

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными

где у- зависимая переменная (результативный признак);

 - независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще ис­пользуются следующие функции:

• линейная

• степенная

• экспонента

• гипербола

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейно­му виду.

уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где  ,   - стандартизованные переменные;

 - стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

Связь коэффициентов множественной регрессии   со стандартизованными коэффициентами   описывается соотношением

Параметр a определяется как 

Матричная запись множественной линейной модели регрессионного анализа:

Y = Xb + e , где Y - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) наблюдаемых значений результативного признака (y1, y2,..., yn);  X - матрица размерности [n x (k+1)] наблюдаемых значений аргументов;  b - вектор - столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели;  e - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) ошибок наблюдений (остатков).

На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза.

31. Методы отбора факторов при построении множественных регрессионных моделей. Мультиколлинеарность факторов, способы её устранения.

Важным этапом построения уже выбранного уравнения множественной регрессии является отбор и последующее включение факторных признаков.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

- метод исключения;

- метод включения;

- шаговый регрессионный анализ.

Каждый из этих методов по-своему решает проблему отбора факторов, давая в целом близкие результаты - отсев факторов из полного его набора (метод исключения), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый регрессионный анализ). В процедуре отсева факторов наиболее широко используется матрица частных коэффициентов корреляции.

При отборе факторов рекомендуется, кроме всего прочего, пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов должно быть в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия.

Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии заключается в реализации алгоритмов последовательного "включения", "исключения" или "включения-исключения" факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их статистической значимости.

Наличие мультиколлинеарности между признаками вызывает:

- искажению величины параметров модели, которые имеют тенденцию к завышению, чем осложняется процесс определения наиболее существенных факторных признаков;

- изменению смысла экономической интерпретации коэффициентов регрессии.

Для устранения мультиколлинеарности используется метод исключения переменных. Этот метод заключается в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные (факторы) устраняются из регрессии и она заново оценивается. Отбор переменных, подлежащих исключению, производится с помощью коэффициентов парной корреляции. Опыт показывает, что если \ryj\ > 0,70, то одну из переменных можно исключить, но какую переменную исключить из анализа, решают исходя из управляемости факторов на уровне предприятия.

37) При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей.   , которая представляет собой в уравнении ненаблюдаемую величину.

Исследования остатков предполагают проверку наличия сле­дующих пяти предпосылок МНК:

1) случайный характер остатков. С этой целью строится график отклонения остатков от теоретических значений признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано. В других случаях необходимо применить либо другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки не будут случайными величинами.

2) нулевая средняя величина остатков, т.е. , не зависящая от хi. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно вклю­чаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков от теоретических значений ре­зультативного признака ух строится график зависимости случай­ных остатков  от факторов, включенных в регрессию хi . Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличие зависимости  и хjто модель неадек­ватна. Причины неадекватности могут быть разные.

3. Гомоскедастичность — дисперсия каждого отклонения  одинакова для всех значений хj. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

 4. Отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков  распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива­ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии.

5. Остатки подчиняются нормальному распределению.

В тех случаях, когда все пять предпосылок выполняются, оценки, полученные по МНК и методу максимального правдоподобия, совпадают между собой. Если распределение случайных остатков  не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель, изменить ее спецификацию, добавить (исключить) некоторые факторы, преобразовать исходные данные, что в конечном итоге позволяет получить оценки коэффициентов регрессии aj, которые обладают свойством несмещаемости, имеют меньшее значение дисперсии остатков, и в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.

39)