2 Муравьиный алгоритм

2.1 Общие положения

Как было сказано выше, основная идея данного алгоритма является моделирование поведения муравьев, коллективной адаптации. Колония представляет собой систему с очень простыми правилами автономного поведения особей. Однако, несмотря на примитивность поведения каждого отдельного муравья, поведение всей колонии оказывается достаточно разумным. Таким образом, основой поведения муравьиной колонии служит низкоуровневое взаимодействие, благодаря которому, в целом, колония представляет собой разумную многоагентную систему. Взаимодействие определяется через химическое вещество – феромон, откладываемый муравьями на пройденном пути. При выборе направления движения муравей исходит не только из желания пройти кратчайший путь, но и из опыта других муравьев, информацию о котором получаем через уровень феромонов на ребрах. С течением времени происходит процесс испарения феромонов, которое является отрицательной обратной связью.

2.2 Концепция муравьиных алгоритмов

Идея муравьиного алгоритма – моделирование поведения муравьёв, связанного с их способностью быстро находить кратчайший путь от муравейника к источнику пищи и адаптироваться к изменяющимся условиям, находя новый кратчайший путь. При своём движении муравей метит путь феромоном, и эта информация используется другими муравьями для выбора пути. Это элементарное правило поведения и определяет способность муравьёв находить новый путь, если старый оказывается недоступным.

Рассмотрим случай, показанный на рисунке, когда на оптимальном доселе пути возникает преграда. В этом случае необходимо определение нового оптимального пути. Дойдя до преграды, муравьи с равной вероятностью будут обходить её справа и слева. То же самое будет происходить и на обратной стороне преграды. Однако, те муравьи, которые случайно выберут кратчайший путь, будут быстрее его проходить, и за несколько передвижений он будет более обогащён феромоном. Поскольку движение муравьёв определяется концентрацией феромона, то следующие будут предпочитать именно этот путь, продолжая обогащать его феромоном до тех пор, пока этот путь по какой-либо причине не станет недоступен.

Очевидная положительная обратная связь быстро приведёт к тому, что кратчайший путь станет единственным маршрутом движения большинства муравьёв. Моделирование испарения феромона – отрицательной обратной связи – гарантирует нам, что найденное локально оптимальное решение не будет единственным – муравьи будут искать и другие пути. Если мы моделируем процесс такого поведения на некотором графе, рёбра которого представляют собой возможные пути перемещения муравьёв, в течение определённого времени, то наиболее обогащённый феромоном путь по рёбрам этого графа и будет являться решением задачи, полученным с помощью муравьиного алгоритма.

2.3 Свойства муравья

Каждый муравей обладает собственной «памятью», в которой будет храниться список городов, необходимых для посещения муравьем, который находится в некотором городе.

Муравьи обладают «зрением», обратно пропорциональным длине ребра.

Каждый муравей способен улавливать след феромона, который будет определять желание муравья пройти по данному ребру.

Муравей - это программный агент, который является членом большой колонии и используется для решения какой-либо проблемы. Муравей снабжается набором простых правил, которые позволяют ему выбирать путь в графе. Он поддерживает список узлов, которые он уже посетил. Таким образом, муравей должен проходить через каждый узел только один раз. Путь между двумя узлами графа, по которому муравей посетил каждый узел только один раз, называется путем Гамильтона, по имени математика сэра Уильяма Гамильтона.

Узлы в списке "текущего путешествия" располагаются в том порядке, в котором муравей посещал их. Позже список используется для определения протяженности пути между узлами. Настоящий муравей во время перемещения по пути будет оставлять за собой феромоны. В алгоритме муравья агент оставляет феромоны на ребрах графа после завершения путешествия.

Стартовая точка, куда помещается муравей, зависит от ограничений, накладываемых условиями задачи, так как для каждой задачи способ размещения муравьев является определяющим. Либо все они помещаются в одну точку, либо в разные с повторениями, либо без повторений.

На этом же этапе задается начальный уровень феромона. Он инициализируется небольшим положительным числом для того, чтобы на начальном шаге вероятности перехода в следующую вершину не были нулевыми.

Движение муравья основывается на одном и очень простом вероятностном уравнении. Если муравей еще не закончил путь, то есть не посетил все узлы сети, для определения следующего ребра пути используется уравнение

(1)

Здесь τ(r,u) - интенсивность фермента на ребре между узлами r и u, η(r,u) - функция, которая представляет измерение обратного расстояния для грани, α - вес фермента, a β - коэффициент эвристики. Параметры α и β определяют относительную значимость двух параметров, а также их влияние на уравнение. Так как муравей путешествует только по узлам, которые еще не были посещены (как указано списком табу), вероятность рассчитывается только для ребер, которые ведут к еще не посещенным узлам. Переменная k представляет эти ребра.

Пройденный муравьем путь отображается, когда муравей посетит все узлы графа. Циклы запрещены, поскольку в алгоритм включен список табу. После завершения длина пути может быть подсчитана - она равна сумме длин всех ребер, по которым путешествовал муравей. Уравнение (2) показывает количество феромона, который был оставлен на каждом ребре пути для муравья k. Переменная Q является константой.

(2)

Результат уравнения является средством измерения пути, - короткий путь характеризуется высокой концентрацией феромонов, а более длинный путь - более низкой. Затем полученный результат используется в уравнении (3), чтобы увеличить количество феромона вдоль каждого ребра пройденного муравьем пути.

(3)

Важно, что данное уравнение применяется ко всему пути, при этом каждое ребро помечается феромоном пропорционально длине пути. Поэтому следует дождаться, пока муравей закончит путешествие и только потом обновить уровни феромона, в противном случае истинная длина пути останется неизвестной. Константа p - значение между 0 и 1.

В начале пути у каждого ребра есть шанс быть выбранным. Чтобы постепенно удалить ребра, которые входят в худшие пути графа, ко всем ребрам применяется процедура испарения феромона. Используя константу p из уравнения 3, мы получаем уравнение 4:

(4)

Поэтому для испарения феромона используется обратный коэффициент обновления пути.

После того как путь муравья завершен, ребра обновлены в соответствии с длиной пути и произошло испарение феромона на всех ребрах, алгоритм запускается повторно. Список табу очищается, и длина пути обнуляется. Муравьям разрешается перемещаться по графу, основывая выбор ребра на уравнении (1). Этот процесс может выполняться для постоянного количества путей или до момента, когда на протяжении нескольких запусков не было отмечено повторных изменений. Затем определяется лучший путь, который и является решением.