Вычисление случайных погрешностей измерений

Случайными называются погрешности, которые при многократных измерениях в одинаковых условиях изменяются непредсказуемым образом. Случайны погрешности формируются множеством независимых факторов и не могут быть ликвидированы полностью, однако их можно учесть при измерении.

Измерения бывают:

1. Прямые измерения – результат получается с помощью измерительного прибора

2. Косвенные измерения – результат получают с помощью расчетов (измерение объемов площадей)

Оценка случайных погрешностей прямых измерений (серия измерений)

Серия измерений проводится в одних и тех же условиях. Число измерений в серии обозначим n. Тогда наилучшей точечной оценкой истинного значения измеряемой величины Х является среднее арифметическое всех измерений.

Наилучшая интервальная оценка истинного значения дается в таком виде:

Х_{истинное} =

Определение полуширины интервала дельта Х:

ΔХ = t_гамма (f) * S_{х (среднее)} – формула Стьюдента

ΔХ называется абсолютная погрешность измерений.

Порядок вычисления интервальной оценки для истинного значения Х:

1. Дать точечную оценку истинного значения Х (среднее)

2. Определить полуширину интервала дельта Х

3. Дать интервальную оценку

Х_{истинное} = ± ΔХ

Пример: с доверительной вероятностью гамма = 0,95 дать интервальную оценку истинной массы вещества, содержащегося в одной капсуле, если в результате измерений этой массы были получены следующие значения: 10, 11, 12, 11 мг.

Х = (10+11+12+11) /4=11

S_x=0,408

f = n -1 = 4-1 = 3

t_0,95 (3) = 3,182

ΔХ = t_0,95 (3) * 0,408 = 3,182 * 0,408 = 1,298

Х = 11 ± 1,298

Оценка случайных погрешностей косвенных измерений:

Наилучшая точечная оценка истинного значения Y – это среднее значение Y, вычисленное от средних значений Х.

Значения среднего квадратического отклонения для Y (среднее):

S_{y (среднее)} = (сумма частных производных * S_{x (среднее)})²

Вычисления абсолютной погрешности для переменной Y ведется по формуле Стьюдента:

Δy = t_гамма (f) S_{y (среднее)}

Пример: проведем обработку результатов эксперимента по измерению ускорения свободного падения g. В ход эксперимента выполнено прямое измерение времени падения t стального шарика с высоты h. Оба измерения являются многократными (n=20) прямыми измерениями. После их обработки были получены следующие данные:

Даем точечную оценку для среднего значения g.

Вычисление относительной погрешности y:

E = (Δy * 100%)/y

Е = 1,86/9,8 * 100% = 20%

По величине относительной погрешности можно судить о качестве измерений.

Проверка статистических гипотез о законах распределения

Статистическая гипотеза – предположение о виде или параметрах закона распределения вероятности. Различают параметрические и не параметрические гипотезы:

1. Параметрические гипотезы относятся к оценке параметров распределения (мат. ожидание, дисперсия и т.д.)

2. Не параметрические гипотезы относятся к виду закона распределения

Понятие нулевой и альтернативной гипотезы:

Нулевая гипотеза (Н₀) – основное проверяемое предположение об отсутствии различий, отсутствии влияния фактора, эффекта, равенство нулю, значение выборочных характеристик.

Конкурирующая или альтернативная гипотеза (Н) – выдвигает предположения о наличии различий или действующего эффекта.

Статистическую гипотезу никогда нельзя доказать по результатам выборки, всегда возможны ошибочные решения двух видов:

1. Ошибка первого рода – гипотеза Н₀ отвергается в том случае, когда она верна. Допустимой вероятностью такой ошибки традиционно считают 5%.

2. Ошибки второго рода состоят в принятии гипотезы Н₀ в том случае, когда она в действительности неверна.

Альтернативные гипотезы принимаются или отвергаются тогда и только тогда, когда опровергнута нулевая гипотеза.

Уровень значимости – вероятность ошибки первого рода при принятии решения.

Общие принципы проверки статистических гипотез: процедура проверки нулевой гипотезы включает следующие этапы:

1. Задается допустимая вероятность ошибки первого рода (уровень значимости)

2. Выбирается статистика критерия

3. Ищется область допустимых значений

4. По исходным данным вычисляется экспериментальное значение статистики критерия

5. Если экспериментальная статистика критерия принадлежит к области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается. В обратном случае проявляется альтернативная гипотеза.

Выдвижение нулевой гипотезы при проверке законов распределения:

Сначала проводится предварительная оценка параметров эмпирического распределения:

1. Построить вариационный ряд частот

2. Построить гистограмму плотности относительных частот

3. Построить статистическую функцию распределения относительных частот

4. Оценить эмпирические параметры распределения (мат. ожидание, дисперсия, сигма)

5. На основании полученных оценок выдвинуть и проверить гипотезу о характере распределения с помощью критериев согласия

Критерием согласия называют величину, с помощью которой оценивается различие между другими величинами и свойства которой известны.

Рассмотрим критерии Пирсона (хи-квадрат), которые часто используются для проверки закона распределения случайной величины.

Распределением хи-квадрат с k степенями свободы называется распределением суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону.

Какова процедура использования критерия хи-квадрат?

1. Определяем хи-квадрат критическое по стат. Таблицам

2. Сравниваем хи-квадрат наблюдаемое и хи-квадрат критическое по следующим правилам:

• Если хи-квадрат наблюдаемое меньше, чем хи-квадрат критическое, тогда нулевая гипотеза принимается, различия считаются незначительными, а эффект отсутствующим.

• Если хи-квадрат наблюдаемое больше, чем хи-квадрат критическое, тогда принимается альтернативная гипотеза, различия в данных считаются значительными и не согласующимися с предполагаемым видом распределения.

Для перевода числа из десятичной системы счисления нужно разделить его на основание и продолжать делить его, пока частное не станет равно нулю. Значение получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое число.

Архитектура ЭВМ: большинство современных компьютеров построены с использованием принципов Фон Неймана.

Принципы:

1. Компьютер состоит из нескольких основных устройств, связанных между собой.

2. Принцип двоичного кодирования – символы нуль и один, которые соответствуют двум состояниям ячейки памяти (заряжено, разряжено)

3. Принцип однородности памяти (принцип хранимой программы) – и программы и данные могут храниться в одной и той же памяти, над командами можно осуществлять одни и те же действия, что и над данными

4. Принцип адресуемости памяти – условно можно считать, что память состоит из пронумерованных ячеек и в любой момент времени доступна любая ячейка памяти. Блоком ячеек так же можно присваивать имена.

5. Принцип последовательного программного управления – программа состоит из команд, которые последовательно выполняются друг за другом

6. Принцип условного перехода – с помощью команды условного перехода можно менять последовательность выполнения команд в зависимости от значения данных

Архитектура ЭВМ, основанная на принципах фон Неймана.

Совокупность технических устройств компьютера называют аппаратным обеспечением.

Блоки компьютера находятся в системной блоке (железный ящик), память, процессор, периферийные устройства. Процессор – главная микросхема компьютера. Основой современных компьютеров является магистрально-модульный принцип организации. Модульный принцип позволяет пользователю комплектовать нужную конфигурацию компьютера, модульная организация опирается на магистральный принцип обмена информации между устройствами. Магистраль (системная шина) – система связей, соединяющих все устройства компьютера, представляет собой много проводную линию, выполненную на материнской плате компьютера. Магистраль включает в себя три многоразрядные шины:

1. Шина данных – передает данные в любом направлении между различными устройствами

2. Шина адреса – передает адреса, используемых устройств, и активирует работу всех внешних устройств по команде процессора. Сигналы передаются только от процессора к устройствам.

3. Шина управления – передает сигналы, определяющие характер обмена информацией, то есть сигналы управления (команды насчитывания или запись информации)

Системная плата – основной аппаратный компонент компьютера. На ней смонтированы:

1. Магистраль обмена информацией

2. Разъемы для установки процессора памяти и других микросхем

3. Разъемы для установки контроллеров внешних устройств

Быстродействие всех этих устройств может сильно различаться, поэтому на системной плате устанавливаются специальные микросхемы, включающие в себя контроллер оперативной памяти (северный мост) и контроллер периферийных устройств (южный мост), которые согласуют работу этих устройств. Северный мост обеспечивает обмен информацией между процессором и оперативной памятью по системной шине. К нему подключаются шины, обеспечивающие обмен информацией с видеокартами. Южный мост обеспечивает обмен информацией между северным мостом и портами для подключения периферийного оборудования (контроллеры жестких дисков, звуковые карты, шины USB, мышь, клавиатура и т.д.).

Обозначения шин и портов подключения:

1. Шина взаимодействия периферийных устройств

2. Ускоренный графический блок

3. Шина подключения памяти

4. Последовательные порты

5. Параллельный порт

6. Универсальная последовательная шина

7. Базовая система ввода-вывода – обеспечивает первоначальную загрузку программ компьютера и тестирует аппаратное обеспечение компьютера. Ее наличие позволяет запустить операционную систему.

Закон Мура – удвоение сложности микропроцессоров происходит приблизительно каждые два года.

Оперативное запоминающее устройство содержит программы, которые выполняются в данный момент и данные, используемые этими программами. После выключения компьютера вся эта информация пропадает, если не была сохранена в постоянном запоминающем устройстве.

Жесткий диск – ПЗУ, которая обычно содержит программы операционной системы, информацию, необходимую для загрузки компьютера и любые другие данные. Каждый логический диск, создаваемый на жестком диске имеет свое имя.

Поколение ЭВМ:

1. 1940-60 гг., вычислительный элемент – электронные лампы, быстродействие (10-20 тыс. операций в секунду), наиболее распространенный язык – ассемблер.

2. 1960-64 гг., вычислительный элемент – транзисторы, быстродействие (1, 2 миллиона оп-ций в секунду), появилась внешняя память на магнитных баранах и магнитных лентах. Были разработаны языки программирования высокого уровня.

3. 1964-72 гг., вычислительный элемент – интегральные схемы, быстродействие (до 300 миллионов операций в секунду), появились первые микро ЭВМ, предназначенные для одного пользователя. Появились первые операционные системы.

4. 1974 по настоящее время, вычислительный элемент – микропроцессоры, быстродействие (миллиарды операций в секунду), появились доступные по цене персональные ЭВМ с жестким диском.

5. Настоящее время; основаны на использовании нано технологий. Используются нейросетевые модели. Происходит отказ от Фон Неймоновской архитектуры.