7.3. Дифференциальные уравнения равновесия круговой цилиндрической оболочки

Для иллюстрации моментной теории расчета оболочек рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку (рис. 7.10), контур которой образован нормальными плоскостями, совпадающими с плоскостями главных кривизн.

Рис. 7.10. Круговая цилиндрическая оболочка

В круговой цилиндрической оболочке главные радиусы кривизны имеют следующие значения:

Положение произвольной точки на поверхности такой оболочки определяется двумя координатами: x и . Координаты x отсчитываются вдоль образующей оболочки, углы — вдоль дуги s с постоянным средним радиусом R.

Выведем дифференциальные уравнения равновесия круговой цилиндрической оболочки. Двумя парами плоскостей — , ; , — выделим около точки C срединной поверхности бесконечно малый элемент, стороны, которого равны и . Для изучения равновесия этого элемента применим подвижную систему координат x, y, z. Начало координат расположим в точке C. Ось x направим вдоль образующей, ось z — по внешней нормали к срединной поверхности, а ось y — по касательной к срединной поверхности перпендикулярно плоскости xCz.

На рис. 7.11 показаны напряжения, действующие на гранях рассматриваемого элемента. На грани, перпендикулярной образующей оболочки (нормаль параллельна оси x), действуют нормальное напряжение и две составляющие касательного напряжения и .

Рис. 7.11. Напряжения на гранях элемента

На площадке, параллельной образующей, действуют нормальное напряжение σ_θ и две составляющие касательного напряжения τ_zθ и τ_xθ. Напряжения на каждой грани могут быть сведены к статически эквивалентным равнодействующим усилиям. Рассмотрим вначале сечение с нормалью, параллельной оси x. Бесконечно малый элемент, заштрихованный на рисунке, очерчен по дуге радиусом и имеет толщину . Следовательно, его площадь равна . При проецировании на координатные оси соответствующие напряжения необходимо умножать на эту площадь.

Сумма проекций на ось x сил, приложенных к рассматриваемому элементу, равна .

Интегрируя это выражение по толщине пластинки, находим нормальную силу в указанном сечении:

(а)

где — нормальная сила, приходящаяся на единицу длины сечения с нормалью, параллельной оси x.

Деля обе части равенства на Rdθ, получаем

(б)

При расчете тонких оболочек можно пренебречь отношением ввиду малости по сравнению с единицей. Тогда формула (б) принимает вид

Аналогично можно определить сдвигающую силу , поперечна силу , изгибающий момент M_x и крутящий момент M_θx. Таким образом, в сечении оболочки с нормалью, параллельной оси x, возникают следующие усилия, приходящиеся на единицу его длины:

(в)

Переходим к рассмотрению радиального сечения. В этом сечении бесконечно малый элемент, заштрихованный на рис. 7.11, имеет площадь dzdx. Сумма проекций всех сил на нормаль к сечению

(г)

где N_θ – нормальная сила, приходящаяся на единицу длины радиального сечения:

Аналогично можно найти сдвигающую силу , поперечную силу , изгибающий момент M_θ и крутящий момент M _xθ .

Таким образом, в радиальном сечении возникают следующие усилия, приходящиеся на единицу его длины:

(д)

На основании закона парности касательных напряжений τ_xθ = τ_θx из формул (в) и (д) вытекает равенство сдвигающих усилий и крутящих моментов:

Таким образом, в тонкой круговой цилиндрической оболочке, существуют следующие зависимости между усилиями и напряжениями:

(7.4)

Усилия, действующие на бесконечно малый элемент срединной поверхности оболочки, показаны на рис. 7.12, а, б. К нему приложены также поверхностные нагрузки, которые в направлениях подвижных координатных осей имеют составляющие X_ν, Y _ν, Z _ν .

Составим уравнения равновесия рассматриваемого элемента. Проецируя все силы на ось x, находим

откуда после упрощения получаем первое уравнение равновесия:

(е)

а
б

Рис. 7.12. Усилия, действующие на элемент срединной поверхности

Аналогично получаем уравнения проекций на оси y и z:

(ж)

При вычислении моментов всех сил относительно координатных осей необходимо рассматривать совместно рис. 7.12,а и 7.12,б. Сумма моментов относительно оси Cx равна

откуда после упрощения

(з)

Аналогично получаем уравнение моментов относительно оси Cy:

(и)

Сумма моментов всех сил относительно оси Cz с точностью до принятых предположений о малости толщины оболочки обращается в тождество.

Итак, имеем пять уравнений равновесия (е) – (и), которые включают в себя восемь неизвестных функций. Исключая из этих уравнений поперечные силы Q_x и Q_y, приходим к следующей системе:

(7.5)

Три дифференциальных уравнения равновесия содержат шесть неизвестных усилий: , , S, , и H. Таким образом, задача оказывается статически неопределимой и для нахождения усилий к уравнениям (7.5) необходимо добавить уравнения деформаций.