7.13 Понятие о расчете гибких пологих оболочек

Рассмотренная линейная теория оболочек не позволяет решить все проблемы их расчета. Так, вопросы потери устойчивости оболочек, связанной с большими деформациями, требуют применения нелинейной теории. Во многих случаях потеря устойчивости сопровождается появлением сравнительно мелких волн, размеры которых малы по сравнению с радиусами кривизны или с габаритными размерами оболочки. Поэтому в пределах каждой вмятины можно оболочку рассматривать как пологую и применять для расчета соответствующую теорию В. 3. Власова с учетом геометрической нелинейности.

Дополняя геометрические соотношения теории пологих оболочек (7.43) нелинейными членами, получаем, как и в теории гибких пластинок:

Исключая из этих уравнений перемещения u и , приходим к уравнению неразрывности, связывающему деформации в срединной поверхности оболочки:

(а)

Здесь L(w, w) - оператор, получаемый из выражения (5.39) заменой функций φ на w, а – оператор (7.46).

Вводя функцию напряжений в форме (7.45), с помощью (7.44) находим из уравнения (а)

(б)

Исключая из уравнений равновесия (7.42) усилия с помощью соотношений (7.43) – (7.45), получаем

(в)

Уравнения (б) и (в) образуют систему нелинейных уравнений уравнений Кармана (5.38):

(7.50)

Первое из них выражает условие равновесия элемента оболочки, второе — условие неразрывности деформаций.

Уравнения (7.50) обобщают систему (7.47) на случай оболочки с большими прогибами, а при значениях кривизн, равных нулю, превращаются в уравнения (5.38) для гибких пластинок.