19. Теоретический коэффициент детерминации и теоретическое корреляционное отношение.

Для определения тесноты корреляционной связи при проверке адекватности регрессионной модели (т.е. соответствия эмпирическим данным) рассчитывают теоретическое корреляционное отношение (η), теоретический коэффициент детерминации (η²), индекс корреляции (R), а для линейной формы – линейный коэффициент корреляции (r) и линейный коэффициент детерминации (r²).

Линейный коэффициент корреляции (К.Пирсона), помимо силы связи, показывает и ее направление; определяется по следующей формуле:

(34)

Линейный коэффициент корреляции принимает значение:

- 1 ≤ r ≤ + 1 (35)

Со знаком (+) – прямая связь.

Со знаком (-) – обратная связь

При r = 0 – линейная связь отсутствует

При r = ± 1 – связь функциональная (линейная).

Чем ближе линейный коэффициент корреляции к ± 1, тем корреляционная связь теснее.

Линейный коэффициент детерминации (r²) – квадрат линейного коэффициента корреляции

Числовые значения r² всегда заключаются в пределах от нуля до единицы.

- 1 ≤ r² ≤ + 1

Линейный коэффициент детерминации более жесткий показатель тесноты связи, чем линейный коэффициент корреляции.

Теоретическое корреляционное отношение (ηт) рассчитывается по формуле

где δ² - межгрупповая дисперсия выравненных значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии; σ² - общая дисперсия результативного признака.

Общая дисперсия определяется по уже известной формуле:

Межгрупповая дисперсия выравненных значений результативного признака определяется по формуле

где – теоретическое значение результативного признака в j-й группе.

При расчете теоретического корреляционного отношения можно использовать правило сложения дисперсий, которое в этом случае может быть представлено:

σ² = + .,

где – остаточная дисперсия.

Тогда теоретическое корреляционное отношение можно рассчитать по следующей формуле:

При криволинейных связях теоретическое корреляционное отношение исчисляемое по формуле (40), часто называют индексом корреляции(R).

Теоретическое корреляционное отношение (ηт) – более универсальный показатель тесноты связи, чем линейный коэффициент корреляции (r), так как может использоваться как для прямолинейных, так и для криволинейных зависимостей.

Теоретическое корреляционное отношение не следует путать с эмпирическим корреляционным отношением, которое также используется в корреляционном анализе, но строится непосредственно на фактических данных.

Теоретический коэффициент детерминации (η²т) определяется как квадрат теоретического корреляционного отношения: