Анализ формулы (4.56) позволяет получить простые правила оценивания погрешности результата косвенного измерения.

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если аргументы (для упрощения возьмем два) x1 и х2 измерены с погрешностями Δх1 и Δх2 и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности А=х1 ± х2, то суммируют абсолютные погрешности без учета знака: ΔA= Δх1 + Δх2.

Правило 2. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения х1 и х2 используют для вычисления А = x1 • x2, или А=x1/х2, то суммируют относительные погрешности δА=δх1 + δx2, где δx = Δх/х.

Правило 3. Измеренная величина умножается на константу. Если* используют для вычисления произведения A = В•x, в котором В не имеет погрешности, то δА = δх.

Правило 4. Возведение в степень. Если аргумент х используют для вычисления степени А = х^n, то δA = nδх.

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если величину х используют для вычисления функции А(х), то относительная погрешность

(4.57)

4.10. Совместные измерения

Совместными называют выполняемые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных физических величин с целью установления зависимости между ними. Пусть требуется определить зависимость у =f(x) между параметрами х и у. Для этого необходимо изменять величину х и при каждом ее установленном значении выполнять одновременное измерение величин х и у. В результате подобных измерений находят координаты (xi, уi) искомой зависимости y=f(x). Экспериментальные координаты хi, уi(где i = 1,2, ... , n — число совместных измерений) отличаются от истинных координат (х, у) из-за систематических и случайных погрешностей. Поэтому возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависимости у =f(x) по координатам хi,уi. Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов. В математике это один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности. Данный метод применяют и для приближенного представления заданной Функции более простыми функциями. Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции уi от значений самой функции у будет наименьшей

(4.59)

Пусть у является функцией нескольких аргументов:

y=f(xi,a,b,c,...,s),

где а, b, с, ... , s— неизвестные коэффициенты. Тогда на основании n экспериментальных пар yi и хi следует определить т+1 искомых аргументов аналитической зависимости, которая наилучшим образом описывает массив уiи хi, т. е. метод наименьших квадратов требует выполнения условия

(4.60)

На основе метода наименьших квадратов можно проводить аппроксимацию различных аналитических зависимостей, например, выражаемых полиномами вида: у - а + bх + сх2 +...+ sxn, где коэффициенты а, b, с, ... , s— константы. Рассмотрим важный для практики случай, когда искомая зависимость имеет линейный характер вида

у = а + bх.(4.61)

Рис. 4.8. Аппроксимация исследуемой зависимости

При использовании метода наименьших квадратов необходимо по набору из п экспериментальных координат (хi, уi) найти такие оценки неизвестных постоянных а и b, при которых получают прямую, наилучшим образом отражающую истинную анализируемую линию. График функции (4.61) представляет собой прямую линию с коэффициентом b = tgα, пересекающую ось ординат в точке у = а (рис. 4.8). В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшим оценкам искомым постоянным а и Ь соответствует минимальное значение следующего выражения:

(4.62)