3.Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина–Уотсона

Рассмотрим уравнение регрессии вида

, (9)

где –число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени значение компоненты е, определяется как

, (10)

или

, (11)

В соот­ветствии с предпосылками МНК остатки должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

Во–первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

Во–вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели.

Модель может не включать фактор, оказывающий существенное влияние на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными.

Очень часто этим фактором явля­ется фактор времени. Кроме того, в качестве таких существен­ных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на резуль­тат значительно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать си­туации, когда причина автокорреляции заключается в непра­вильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результатив­ного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Известны два наиболее распространенных метода определе­ния автокорреляции остатков.

Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное опреде­ление наличия или отсутствия автокорреляции.

Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины

, (12)

Таким образом, – это отношение суммы квадратов разно­стей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Практически во всех статисти­ческих пакетах прикладных программ значение критерия Дарби­на–Уотсона указывается наряду с коэффициентом детермина­ции, значениями и критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка оп­ределяется как

, (13)

Поскольку – остатки, полученные по уравнению регрессии, параметры которого определены обычным методом наименьших квадратов, в соответствии с предпосылками МНК их сумма и среднее значение равны нулю.

; (14)

Следовательно, без уменьшения общности можно предполо­жить, что

, (15)

Предположим также

, (16)

С учетом соотношений (15) и (16) формула для расчета коэффициента автокорреляции остатков (13) преобразуется следующим образом:

, (17)

Преобразуем теперь формулу (12) расчета критерия Дарбина – Уотсона:

, (18)

С учетом формулы (16) имеем

, (19)

Сравнив выражения (17) и (19) нетрудно вывести сле­дующее соотношение между критерием Дарбина–Уотсона и ко­эффициентом автокорреляции остатков первого порядка:

, (20)

Таким образом, если в остатках существует полная положи­тельная автокорреляция и , то .

Если в остатках есть полная отрицательная автокорреляция, то , и, следова­тельно, .

Если автокорреляция остатков отсутствует, то и .

Значит,

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина — Уотсона следующий.

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные ги­потезы Н₁ и состоят соответственно в наличии положитель­ной или отрицательной автокорреляции в остатках.

Далее по спе­циальным таблицам определяются кри­тические значения критерия Дарбина – Уотсона и для за­данного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости .

Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н_о.