3.Оценка параметров уравнения множественной регрессии

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов.

При его применении строится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров рег­рессии.

Так, для уравнения

, (7)

система нормальных уравнений составит:

, (8)

Ее решение может быть осуществлено методом определителей:

, ,…., , (9)

где – определитель системы;

– частные определители, получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

…

…

= … , (10)

………………………………

…

4.Частные уравнения регрессии

На основе линейного уравнения множественной регрессии

, (7)

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

, (11)

то есть уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне.

Частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

, (12)

При подстановке в эти уравнения средних значений соответ­ствующих факторов они принимают вид парных уравнений ли­нейной регрессии, то eсть имеем:

, (13)

где

, (14)

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному чле­ну уравнения множественной регрессии. Это позволяет на осно­ве частных уравнений регрессии определять частные коэффици­енты эластичности:

, (15)

где

– коэффициенты регрессии для фактора , в уравнении множественной регрессии;

– частное уравнение регрессии.

Тема№6 Множественная корреляция в эконометрических исследованиях

Вопросы:

1.Показатели оценки тесноты связи уравнения множественной регрессии

2. Частные коэффициенты корреляции

3. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.

1.Показатели оценки тесноты связи уравнения множественной регрессии

Практическая значимость уравнения множественной регрес­сии оценивается с помощью показателя множественной корре­ляции и его квадрата – коэффициента детерминации.

Показатель множественной корреляции характеризует тесно­ту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым при­знаком, или оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной кор­реляции может быть найден как индекс множественной корре­ляции:

, (1)

где – остаточная дисперсия для уравнения ;

– общая дисперсия результативного признака.

Методика построения индекса множественной корреляции аналогична построению индекса корреляции для парной зависи­мости. Границы его изменения те же: от 0 до 1.

Чем ближе его зна­чение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем на­бором исследуемых факторов.

Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному пар­ному индексу корреляции:

, (2)

При правильном включении факторов в регрессионный ана­лиз величина индекса множественной корреляции будет сущест­венно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множествен­ной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множествен­ной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем и четвертом знаках). Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

Расчет индекса множественной корреляции предполагает оп­ределение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:

, (3)

Можно пользоваться следующей формулой индекса множе­ственной корреляции:

, (4)

При линейной зависимости признаков формула индекса кор­реляции может быть представлена следующим выражением:

, (5)

где – стандартизованные коэффициенты регрессии;

– парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

В справедливости данной формулы можно убедиться, если обратиться к линейному уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе и определить для него индекс мно­жественной корреляции как

, (6)

или, что то же самое,

, (7)

В формуле (7) числитель подкоренного выражения пред­ставляет собой факторную сумму квадратов отклонений для стандартизованных переменных:

, (8)

Поскольку и и, индекс множествен­ной корреляции для линейного уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде

, (9)

Подставим в эту формулу выражение через

, (10)

получим:

, (11)

Поскольку получим формулу индекса множе­ственной корреляции следующего вида:

, (12)

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множест­венной корреляции или совокупного коэффициента корреляции.