2.Использование функций нелинейных регрессий в практической деятельности

В классе нелинейных функций, параметры которых без осо­бых затруднений оцениваются МНК, в эконометрике хорошо известна равносторонняя гипербола.

Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микроуровне, но и на макроуровне.

Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелиней­ное соотношение между нормой безработицы и процентом при­роста заработной платы .

, (1)

Английский экономист А. В. Филлипс, анализируя данные более чем за 100–летний период, в конце 1950–х годов XX в. уста­новил обратную зависимость процента прироста заработной пла­ты от уровня безработицы.

Если в уравнении равносторонней гиперболы заменить на , получим линейное уравнение регрессии оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:

, (18)

При имеем обратную зависимость, которая при характеризуется нижней асимптотой, то есть минимальным предель­ным значением , оценкой которого служит параметр . Так, для кривой Филипса величина параметра , равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соот­ветственно можно определить тот уровень безработицы, при ко­тором заработная плата оказывается стабильной и темп ее при­роста равен нулю.

При имеем медленно повышающуюся функцию с верх­ней асимптотой при , то есть с максимальным предельным уровнем , оценку которого в уравнении дает пара­метр .

Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов). Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривые Энгеля.

В 1857 г. немецкий ста­тистик Э. Энгель на основе исследования семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода доля дохо­дов, расходуемых на продовольствие, уменьшается.

Соответ­ственно с увеличением дохода доля расходов на непродоволь­ственные товары будет возрастать. Однако этот рост не беспре­делен, ибо сумма долей на все товары не может быть больше единицы, или 100 %, а на отдельные непродовольственные това­ры данный предел может соответствовать величине параметра а для уравнения вида:

, (19)

где – доля расходов на непродовольственные товары;

– доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).

регрессии.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оценивае­мым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразде­ляется на внутренне линейные и внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответству­ющих преобразований она может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень ши­роко используется степенная функция:

, (20)

Это связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолко­вание, то есть является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида:

(21)

то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,12 %. О правомерности по­добного истолкования параметра для степенной функции , можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэф­фициента эластичности:

, (22)

где – первая производная, характеризующая соотношение прирос­тов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит:

) (23)

Соот­ветственно коэффициент эластичности равен:

, (24)

Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру .

В других функциях коэффициент эластичности за­висит от значений факторах. Так, для линейной регрессии первая производная функции и эластичность следующие:

, (25)

, (26)

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соот­ветствующего значения , обычно рассчитывается средний пока­затель эластичности по формуле:

, (26)

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет не имеет экономического смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определять изменения значений в процентах. Например, на сколько процентов изменится заработная плата с ростом стажа работы на 1 % и т.д.