34 Второй дифференциал фмп как квадратичная форма от

дифференциалов независимых переменных. Формула Тейлора для

ФМП

35 Локальные экстремумы фмп. Необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума

Значения функции в точке максимума(минимума) называется максимумом (минимумом) ф-ции. Максимум и минимум функции называет ее экстремумами

Точка экстремума функции лежит внутри области определения ф-ции, максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значения ф-ции в точке (x₀; y₀) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x₀; y₀).

В Области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Необходимые условия экстремума:

Если в точке M(x₀; y₀) дифф. Функция z = f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

f’_x(x₀; y₀) = 0

f’_y(x₀; y₀) = 0

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x;y) равны нулю, т.е. f’x = 0 , f’y = 0, называется стационарной точкой функции z

Достаточное условие экстремума:

1. Если Δ > 0, то функция имеет экстремум

2. Если Δ < 0 то функция не имеет экстремум

3. Δ = 0 Экстремума быть и не может.

36.Условные экстремумы фмп. Метод подстановки и метод Лагранжа.

Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f(х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(х, у) при наличии соотношения φ(х,у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа

F(x,y)=f(x,y)+ λφ(x,y),

Условный экстремум ф-ции нескольких переменных.

Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

37 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в

ограниченном замкнутом множестве

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диффецируемой области функции z = f(x;y) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки ф-ции, принадлежащие и вычислить знач. функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее знач. ф-ции z = f(x;y) на границах области.

3. Сравнить все найденные знач.функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m