28 Непрерывность фмп в точке и на компакте

Непрерывность. Используя понятие предела: функция y=f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0, называется непрерывной в этой точке если

.

Функция z = f(x;y) (или f(M)) называется непрерывной в точке M₀(x₀;y₀) если она:

1. Определена в этой точке или некоторой ее окрестности

2. Имеет предел

3. Этот предел равен значению функции z в точке М₀

29 Частные и полное приращения фмп. Частные производные и

дифференцируемость ФМП

Пусть ф-ция z = f(x;y) определена в нек-ой окрестности точки M(x;y). Полное приращение функции в точке М:

Частное приращение z в т. M₀ по переменной x:

∆_xz(M₀)=f(M₁)-f(M₀)=f(x₀+∆ x,y₀)-f(x₀,y₀).

Зависит от ∆x, всё остальное фиксировано.

Частное приращение z в т. M₀ по переменной y: ∆_yz(M₀)=f(M₂)-f(M₀)=f(x₀,y₀+∆y)-f(x₀,y₀).

Зависит от ∆y, всё остальное фиксировано.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частной производной от ф-ции f в т. М₀ по определению х называется

 Частная производная ф-ции по Х

Теорема (достаточн.условие дифф-мости.функции)

Если функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производные z_x^’ и z_y^’ в точке M(x;y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой.

Определение: Частной производной от ф-ции f по переменной x в т.M₀ называется , если он ∃ и конечен.

Обозначение z’_x(M₀), f’_x(M₀).

Аналогично, z’_y(M₀)= если предел ∃ и конечен.

f’_y(M₀), , .

30 Полный дифференциал фмп. Использование в приближенных

вычислениях

Из определения дифференциала функции z = f(x;y) следует, что при достаточно малых |Δx| и |Δy| имеет место приближенное равенство

Δz dz

Можно записать в след.виде:

31 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Уравнение касательной плоскости:

Прямая проходящая через точку М₀ и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется нормалью

- Каноническое ур-ие нормали

32 Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная по направлению обобщает понятие частных переменных для Ф2П, Ф3П.

Градиент:

Или иная запись:

33 Частные производные и дифференциалы ФМП высшего порядка (???)

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют)   и  , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная   обозначается через   или  ,

а   через   или  . Таким образом,

, 

и, аналогично,

,  .

Производные   и   называются частными производными второго порядка. 

Определение: Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка:  ,  ,   и т. д.