17. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства
Если
функция f(t)
непрерывна в окрестности точки t
= x,
то в этой точке функция Ф(x)
дифференцируема, и
.
Другими
словами, производная определённого
интеграла от непрерывной функции по
верхнему пределу равна значению
подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во.
Дадим верхнему пределу x
приращение
.
Тогда
,
где c
- точка, лежащая между x
и
(существование такой точки утверждается
теоремой о среднем; цифры над знаком
равенства - номер применённого свойства
определённого интеграла).
.
Устремим
.
При этом
(c-
точка, расположенная между x
и
).
Так как f(t)
непрерывна в точке t
= x,
то
.
Следовательно, существует
,
и
.
Теорема доказана.
18.Основные теоремы интегрального исчисления.
Основные т-мы инт. исчисления яв-ся простыми следствиями т-мы Барроу.
Теорема1.1
Для
непр. на отрезке ф-ции f(x)
первообразная
на этом отрезке, т.е.
непрерывная
на отрезке ф-ция, инт. на этом отрезке.
Док-во:
Пусть
f
непрер.
на
=> по
т-ме Барроу
,
диф-мая
.
При этом
–
первообразная для f(x),
т.е.
,
ч.т.д. Из т-мы 1.1
=> на
Теорема1.2(т-ма Ньютона-Лейбница) Пусть f непр. на , а F(x) – одна из её первообразных на . Тогда
– ф-ла
Ньютона-Лейбница.
Док-во:
Т.к.
непр.
на
то по т-ме 1.1
она
имеет первообразную
Тогда
Возьмём x=a и x=b
19 Основные методы вычисления определенного интеграла
1 Метод подстановки (Теорема)
Ф-ция x = φ(t) и ее x’ = φ’(t) непрерывны при t Є [α; β], при этом φ(α) = а, α(β) = b, тогда:
2 Интегрирование по частям.
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то:
3 Симметрия подинтегральной функции
Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [-a;a], симметричном относительно точки x = 0 то:
20.Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
Исходя
из определения определенного интеграла
В
декартовой системе координат
f(x)-непрерывна
x = a, x = b; отр [a,b] оси оХ
В
параметрическом виде.
;
;
разбиваем:
;
В полярной системе координат
;
;
;
;
;
;
21.Определение длины плоской кривой. Вычисление длины кривой.
Пусть
известна функция
и требуется найти длину дуги, заданной
функцией
,
где
.
Для
определения длины дуги 
необходимо
вычислить определенный
интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где 
.
В этом случае для определения длина
дуги
вычисляется определенный
интеграл:
Рассмотрим
случай, когда кривая задается в полярных
координатах
где 
.
Тогда для определения длины
дуги
вычисляется
следующий определенный
интеграл:
