14.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение интеграла Римана.

Задача о площади криволинейной трапеции

 О: Под криволинейной трапецией пониматся фигура D, которая имеет границу

  в данном случае f (x) является непрерывной

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Для этого следует разделить отрезок [a,b] с помощью точек {x₀ = a, х₁,…, x_i-1, x_i, x_n = b} на n элементарных отрезков [x_i-1,x_i]. . Отметим x_i-x­_i-1=∆x_i, определим случайные точки и отобразим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с высотами и основаниями . Площадь ступенчатой фигуры и определяет приблизительное значение площади криволинейной трапеции. В качестве точного значения площади запишем

Задача о работе переменной силы  Определим работу переменной силы , для которой характерно постоянное направление. Под действием этой силы материальная точка меняет свое расположение и перемещается из x=a в x=b по прямой, имеющей направление вдоль линии действия силы

  Осуществим деление, подобно тому, как было сделано ранее: равна . Приближенное значение работы на всем пути —  В качестве точного значения обозначим

Понятие определенного интеграла Предположим, что на [a,b] определена функция из n частей и запишем сумму

  которая именуется интегральной.

 О: Под определенным интегралом (о.и.) от функции и от выбора

Обозначение:

Числа f(x) именуют интегрируемой (по Риману) на[a,b].

Т. существования: При условии, что[a,b].

В соответствии с определением о.и. отметим, что интеграл имеет зависимость от вида , пределов a и b , однако не зависит от символа обозначения переменной , иначе выражаясь

  Запишем формулы площади криволинейной трапеции: , работы силы

на :

15.Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Необходимые условия интегрируемости функции на отрезке [a;b]. Достаточные условия интегрируемости.

1) Путь s, пройденный точкой по прямой за время T-t₀ co скоростью v = v (t)   (v (t)непрерывна на [t₀;T] ), есть    (механический смысл определенного интеграла).  2) Если функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a ; b], то 

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (х), снизу отрезком [a ; b] оси Ох и с боков отрезками прямых х = а, x = b  (геометрический смысл определенного интеграла).  

Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке [a;b].

Теорема: Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Достаточные условия интегрируемости

Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы разность верхних и нижних сумм Дарбу стремилась к нулю, когда мелкость разбиений отрезка стремится к нулю:

(  -  )= 0.

(1)

    Следствие. Для того чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция f была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы

k( f ) xk= 0,

(2)

где   - разбиение отрезка [a,b], а  _k(f) - колебание функции f на отрезке [x_k-1,x_k], k = 1, 2, ...,  . 

16.Основные свойства определенного интеграла.

Св-ва опред. ин-ла.

1. f(х)dх=0

2. dх=b – a; f(x)1

3. f(х)dх= - f(х)dх

4. f(x)R [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

=

5. f(x), g(x)  R [a,b], то f(x)+g(x)  R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

 a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх

7. Если f(xх[a,b], то f(х)dх0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)R [a,b], f(x)g(x) x[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b

Док-во: g(x) – f(x)0 x[a,b], 0 (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх

9. Если f(x)R [a,b], то |f(x)|R [a,b]

| f(х)dх | |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a) f(х)dхM(b-a)

mf(x)M; x[a,b]

m dх  f(х)dхM dх

m(b-a) f(х)dхM(b-a), a<b