7. Интегрирование с подстановкой в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой пере мен ной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл при водится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Пусть требуется вычислить интеграл ∫ f(x) dx. Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда dx =φ'(t) dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой,

∫f(x)dx=∫f( (t)) φʹ(t)dt. Эта формула также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = φ(х), тогда

∫f(φ(x)∙φʹ(x)dx=∫f(t)dt, где t=φ(x).

Другими словами формулу можно применять справа налево.

7. Интегрирование по частям. Классы функций, интегрируемых по частям.

Пусть u=u(x), v=v(x), тогда

док-во! =uv+c; d(uv)=(uv = = + ; = - =uv- . 1. Ф-ла интегрирования по частям применяется для вычисления следующих интегралов: 1) ; 2) dx; -многочлен степени n; k k-некоторое действительное число; =u(x); dx=dv. 2. Ф-ла интегрирования по частям применяется для вычисления интегралов dx при вычислении этих интегралов =u; =dv. 3. Ф-ла интегрирования по частям применяется для вычисления интегралов вида

dx такие интегралы наз сводящимися сами к себе; =dv; =u

10. Алгоритм интегрирования рациональной функции. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование дробей I и II типов

Дробно-рациональная ф-ция называется ф-ция равная отношению двух многочленов: f(x) = где P_m(x) – многочлен степени m, а Q_n(x) многочлен степени n.

Всякую неправильную рац. Дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена и правильной рац.дроби.

Простейшие рац. Дроби I и II типа.

Всякую правильную рац.дробь знаменатель которой разложен на множители, можно представить в виде следующей сумму простейших дробей (ПРИМЕР):

Интегрирование простейших рац.дробей (I и II): I. = A*ln|x-a|+C II.

11. Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Интегрирование дробей III и IV типов.

Интегрирование простейших рац. дробей

III.

IV.

12. Методы интегрирования тригонометрических выражений

1. Табличное интегрирование

2. Универсальная подстановка

3. Интегрирование с помощью понижения степени

2. Интегрирование по частям

2. Использование тригонометрических преобразований.

13. Интегрирование иррациональных выражений

Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен.

Интегралы вида   , где   - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой

  .

Интегралы вида    вычисляются заменой  или  .

Интегралы вида    вычисляются заменой    или  .

Интегралы вида  вычисляются заменой  или  .