6. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла.
В
дифференциал исчислении ставилась
задача найти производную в заданной
ф-ции y=f(x).
Интегральное исчисление решает обратную
задачу,требуется найти ф-цию y=F(x)
такую, что производная от этой ф-ции
равна заданной ф-ции
y=f(x).
=f(x);f(x)=
;F(x)=
;(
=
;F(x)=
+c
,c-некоторая
const
.также имеет производную равную
:
+c
=
.Другими
словами, для ф-ции
существует
бесчисленное множество ф-ций F(x)=
+c,
производная от которой равна
.
Ф-ция F(x)
наз первообразной ф-цией ф-ции f(x)
на отрезке [a;b]
, если для любого x
,принадлежащего отрезку [a;b]
=f(x).
Пусть
-первообразные
ф-ции f(x),т.е.
=f(x)
и
=f(x).
Найдём связь между этими ф-ями, т.е.
рассмотрим (
=
-
=
f(x)-
f(x)=0
f(x)
[a;b]
=c;
.
Таким
образом мы показали, что если известна
какая-либо одна первообразная
ф-ция f(x)
на отрезке [a;b],
то все другие первообразные будут равны
.
Множество всех первообразных ф-ций f(x)
на отрезке [a;b]
называется неопределённым интегралом
от ф-ции f(x)
на отрезке [a;b]
и обозначается символом
.
Ф-ция F(x)
называется подынтегральной ф-цией, а
f(x)dx-подынтегральным
выражением
.
Геометрически неопредел. интеграл от
ф-ции представляет собой некоторое
семейство ф-ций. Из определения неопр.
интеграла следует, что:(
=f(x);
d(
=f(x)dx.
Поэтому правильность вычисления
интеграла легко проверить дифференцированием
=
.
Проверка:
=2x+1.
Св-ва
интеграла:
1) (
=f(x);
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Основные методы интегрирования. Неопределенное (табличное) интегрирование. Таблица основных неопределенных интегралов.
Таблица основных неопределенных интегралов
1.
=x+c;
2.
=
,
n
;
3.
;
4.
=
;
5.
=
;
6.
=
;
7.
=
;
8.
=tgx+c;
9.
=ctgx+c;
10.
=
;
док-во! (
=
(
;
11.
=
12.
;
док-во!
;
13.
;
14.
=
;
15.
=
);
док-во! =
=
(
=
=
=
=
Метод разложения, или непосредственное интегрирование–основан на применении свойств 3, 4 неопределенного интеграла.
Пример 1.
2.Метод замены переменной–основан на использовании формулы
|
(1) |
где z–новая
переменная, связанная
с x соотношением 
, 
непрерывная
монотонная функция, имеющая непрерывную
производную. Справедливость этой формулы
следует из того, что равны дифференциалы
ее левой и правой частей
3. подведение под знак дифференциала. В частности,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Метод интегрирования по частям.
Если
Иногда эту формулу приходится применять последовательно несколько раз. Отметим три типа интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.
|
|
|
|
|
|
и 
–функции,
имеющие непрерывные производные,
то 
,
тогда 
;
проинтегрировав это равенство и
учитывая свойство 2 неопределенного
интеграла, получим формулу
интегрирования по частям:
где 
–многочлен, 
В
этих интегралах полагают 
.
где
–многочлен.
В этих интегралах за u принимают
функцию, являющуюся множителем при
.
где m, n–числа.
Эти интегралы вычисляются двукратным
интегрированием по частям.