53.Двойной интеграл геом. И мех. Смысл. Вычисление
Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций. Обозначение двойного интеграла:
Геометрический
смысл двойного интеграла:
при неотрицательной функции f(x,y), двойной
интеграл по области D представляет из
себя объем криволинейного цилиндра,
который построен на области D и ограничен
сверху поверхностью z=f(x,y).
Механический
смысл двойного интеграла.Если
функции z=f(x,y)
есть плотность распределения массы по
плоскости, то двойной интеграл есть
м
асса
пластины.
Вычисление двойного интеграла.Теорема:Пусть
область D -
правильная в отношении оси Ох (рис.
2.6.)Тогда в этом случае область D может
быть задана одной системой неравенств:
Если
существует двойной интеграл
то его можно вычислить через повторный
кратный интеграл так:
При
этом внутренний интеграл по у находится
при постоянном х.
Данное представление (2.11) получается
из определения двойного интеграла при
специальном способе разбиения
области D на n "мелких"
частей (линиями, параллельными либо Ох,
либо Оу -
прямоугольной "шахматной" сеткой.
А затем выполняется суммирование
"объёмов" ΔVi сначала
по оси Оу,
а затем по оси Ох).
54.Тройной интеграл. Геометрический и механический смысл. Вычисление
Тройной интеграл.
:,
z меняется от поверхности до поверхности.
Замечание: Области более сложного вида надо разбить на области более простого вида. Проектирование области V можно производить и на другую плоскость.
Замена переменных в тройном интеграле.
,
где |I| - модуль Якобина.
Геометрический
смысл: |I|
-коэффициент растяжения объёма при
отображении области V
на область V’
В цилиндрических координатах:
В сферических координатах:
