50. Фигура и ее мера. Определение интеграла по фигуре. Частные случаи таких интегралов

Фигура – ограниченное, связанное замкнутое мн-во точек пл-ти или трёх. пространства.

Под мерой М фигуры Ф будем понимать: 1)для отрезка по оси Ох – его длину, т.е. . 2)для кривой L(плоской или простр.) мерой яв-ся её длина (если кривая L-спрямляема). 3)для плоской фигуры её мерой яв-ся площадь(если D квадрируемая, т.е. имеет площадь). 4)для простр. области Т – объём V(если область Т кубируема, т.е. имеет объём).

Если Ф – огр. связное, замкн. мн-во точек пл-ти, или пр-ва, а ф-ция f(M) непрерывна в точках фигуры Ф, то f(M) интегрируема по Ф, т.е.

Частные случаи интегралов по фигуре

1. Пусть фигуры Ф – отрезок , тогда задана на .

2. Ф-плоск. или пространств. кривая L. f(M)-ф-ция 2-х(3-х переменных), – длины

, - (КРИ-1)

3. Ф-плоск. квадрируемая область . . .

4. Т-кубируемая простр. Область , – элем. объём. .

51. Общие свойства интегралов по фигуре. Вычисление кри-1

Ф игура – ограниченное, связное, замкнутое множество точек плоскости или трехмерного пространства.

Под мерой µ фигуры Ф будем понимать:

1. Для отрезка [a;b] его длину;

2. Для линии (L) ее длину l;

3. Дли плоской области (D) и поверхности (Q) их площади s и q соответственно;

4. Для пространственной области (V) – объем v соответствующего тела.

Пусть Ф- фигура (на пл-ти или в пр-ве), её мера равна µ. На фигуре Ф задана ф-ия f(M),M∈Ф.

Рассмотри алгоритм, состоящий из 4-х шагов:

ШАГ 1: ∀ обр. разобьем Ф на n частей ΔФ_k(k=1,…,n)

Ф= ΔФ₁∪ ΔФ₂∪ ΔФ_n

µ(ΔФ_k)₌ Δµ_k

Обозначим ΔK=diam ΔФ_k , Δ=max ΔK, 1≤k≤n.

ШАГ 2: В ∀ элементарной фигуре ΔФ_k ∀ образом выберем т. М_k∈ΔФ_k(k=1,…,n)

Вычислим f(М_k)

ШАГ 3: Составим сумму δ_{n= –} инт. сумма, сост. для ф-ии f(M) по

фигуре Ф.

ШАГ 4: Рассм. Процесс, при котором ∀ элем. Область ΔФ_k стягивается в точку 

диаметр Δ=0.

Теорема (о дост. условиях существования интеграла по фигуре Ф):

“Если Ф – огр, связное, замкн. Множество точек пл-ти или пр-ва, а ф-ия

f(M) непрерывна в точках фигуры Ф, то f(M) интегрируема по Ф.”

Вычисление КРИ-1:

Пусть L – плоская кривая, заданная дек. ур-ем.. Тогда при вычислении КРИ-1 сводится к опр. инт. по Х.

В полярных координатах:

52.Определение и вычисление кри-2. Механический смысл кри-2.

КРИ-2

Механический смысл КРИ-2:

(М) – вектор силы; L=AB; Работа силы по перемещению вдоль L. Если (М) – переменная сила, а AB – кривая, то: - настолько малы, что перемещение на кусочек по направлению совпадает с единичным касательным вектором. -произвольная точка. ( ) – постоянная сила. =( ( ), )=( ( ), )

!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.

Скалярная форма кри-2

Вычисление КРИ-2

,

Вывод: в общем случае КРИ-2 зависит от пути интегрирования.