46. Лоду с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Случаи простых действительных корней и кратных действительных корней характеристического уравнения

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+…+p_ny=0, где p₁,p₂,…,p_n∈R

Пусть L[y]=0 ЛОДУ с непр. на (a,b) коэф.

По методу Эйлера будем искать ФСР, ф-ии которой имеют вид:

y=e^λx , где λ подлежит определению.

y= e^λx

y’= λe^λx

y’’= λ²e^λx

…

y⁽ⁿ⁾= λⁿe^λx

Подставим в ЛОДУ:

λⁿe^λx+ p₁λ ^(n-1) e^λx +…+ p_n e^λx=0 | : e^λx≠0

λⁿ+p₁ λ ^(n-1)+…+p_n=0 – Характеристическое уравнение для L[y]=0

Итог:

y= e^λx – решение L[y]=0 , λ-корень, решение ЛОДУ.

λⁿ+ p₁λ ^(n-1)+…+ p_n λ⁰=0

ФСР: y₁,…,y_n

y⁽ⁿ⁾-> λⁿ

y⁽⁰⁾=y-> λ⁰= λ y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n

Найдем ФСР для ЛОДУ 2-го порядка:

y’’+p₁y’+p₂y=0, p₁,p₂∈R

Составим характеристическое уравнение:

λ² p₁λ +p₂=0

Если λ₁≠ λ₂ => ФСР: y=e ^λ1X

Если λ₁= λ₂, λ∈R – Кратный действительный корень, то

y₁=e^λx

y₂=xe^λx – тоже решение ЛОДУ

y=C₁e^λx+C₂xe^λx

47. Лоду с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Случай комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+…+p_ny=0, где p₁,p₂,…,p_n∈R

Пусть L[y]=0 ЛОДУ с непр. на (a,b) коэф.

По методу Эйлера будем искать ФСР, ф-ии которой имеют вид:

y=e^λx , где λ подлежит определению.

y= e^λx

y’= λe^λx

y’’= λ²e^λx

…

y⁽ⁿ⁾= λⁿe^λx

Подставим в ЛОДУ:

λⁿe^λx+ p₁λ ^(n-1) e^λx +…+ p_n e^λx=0 | : e^λx≠0

λⁿ+p₁ λ ^(n-1)+…+p_n=0 – Характеристическое уравнение для L[y]=0

Итог:

y= e^λx – решение L[y]=0 , λ-корень, решение ЛОДУ.

λⁿ+ p₁λ ^(n-1)+…+ p_n λ⁰=0

ФСР: y₁,…,y_n

y⁽ⁿ⁾-> λⁿ

y⁽⁰⁾=y-> λ⁰= λ y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n

Найдем ФСР для ЛОДУ 2-го порядка:

y’’+p₁y’+p₂y=0, p₁,p₂∈R

Составим характеристическое уравнение:

λ² p₁λ +p₂=0

Если λ_1,2=a ± bi – комплексно-сопряженные корни, a,b∈R

То y=e^(a±bi)x – комплексное решение ЛОДУ

e^iµ=cos µ+isin µ

y=C₁e^axcosbx+C₂e^axsinbx

48. Лоду высшего порядка. Cтруктурa общего решения. Метод Лагранжа.

Структура общего решения:

Пусть L[y]=0 ЛОДУ с непр. На (a,b) коэф.

Тогда в области Ω = {a<x<b,-∞<y^(k)<+∞,k=0,…,n-1}

Общим решением ЛОДУ является функция:

y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+…+C_ny_n(x), где n – порядок ЛОДУ, C_1…C_n ∈ ℝ, y₁(x)…y_n(x) - ∀ система из n ЛНЗ на (a,b) решения ЛОДУ.

Метод Лагранжа:

y=C₁(x)y₁(x)+C₂(x)y₂(x)+…+C_n(x)y_n(x), где {y₁,…,y_n} – ФСР, C₁(x),…,C_n(x) – неизв. ф-ии.

ШАГ 1: Составим систему ф-ий относительно C’₁,…,C’_n :

C’₁y₁+C’₂y₂+…+C’_ny_n=0

C’₁y’₁+C’₂y’₂+…+C’_ny’_n=0

…

C’₁y^(n-2)₁+C’₂y^(n-2)₂+…+C’_ny^(n-2)_n=0

C’₁y^(n-1)₁+C’₂y^(n-1)₂+…+C’_ny^(n-1)_n=0

 Δ = y_1,y₂,…,y_n

y’₁,y’₂,…,y’_n

… ≠ 0

y^(n-1)₁,y^(n-1)₂…y^(n-1)_n

ШАГ 2: Находим С₁(x),…,C_n(x)

C_i(x)=  ∫ p_i(x)dx+C_i, i=1,…,n

ШАГ 3: Подставляем C_i(x) в вид У_о.н.

У_о.н.=

49. Лнду высшего порядка со специальной правой частью

y_n+p₁(x)y^(n-1)+…+p_n(x)y=q(x), q(x) ≠0

q(x)-специальная правая часть

q(x)=e^ax (P_l(x)cosbx+Q_m(x)sinbx), r=max{l,m}, z=a+bi;

ȳ=x^ke^ax(P_r(x)cosbx+Q_r(x)sinbx),

k-кратность корня z=a+bi характеристического многочлена левой части уравнения.

Пример:

y”-3y’+2y=(34-12x)e^-x

[L=y’]

L²-3L+2=0

L_1,2=1;2

y=c₁e^x+c₂e^2x+ ȳ

ȳ=e^-x(AX+B)

ȳ’=(e^-xAX)’+(Be^-x)’

ȳ”=-A(-e^-xX+e^-x)-Ae^-x+Be^-x

Находим A и B;

A=-2;B=4;

y=c₁e^x+c₂e^2x+e^-x(-2x+4)