41.Линейные ду первого порядка. Ду Бернули

y’ + p(x) y = q(x) – Линейное

y’ + p(x)y = q(x)y^a – Бернули

y = u*v

y’ = u’*v + v’*u



u’v + v’u + p(x)*uv = q(x)

u’v+u(v’+p(x)v) = q(x)



– Для линейного

– Для Бернули

42 Ду высшего порядка. Основные определения, понятия, теоремы

F(x;y;y’;y’’, … , yⁿ) = 0 – Ур-ие высшего порядка

Разрешенное относительно старшего порядка:

ОПР: Для ДУ 2-го порядка задача Коши имеет вид:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ

Если ДУ таково, что ф-ция f в некоторой области изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные производные то для любой точки существует такой интервал | x – x0 | < d на котором сущ. Единственное решение этого уравнения удовл.начальному условию.

43 Ду высшего порядка, допускающие понижения порядка

1. f(x) – известная непрерывная ф-ция. Правая часть ур-ия зависит только от Х и порядок понижается путем последовательного интегрирования ур-ия.

2. 

В правой части нет y,y’…y^k-1 k>=1. Тогда делаем подстановку:

и получаем ДУ:

3. F(y,y’, …, y^n-1, y’) = 0

Уравнение не содержит явно переменную х.

Порядок ур-ия можно понизить на 1 с помощью подстановки

44 Лоду высшего порядка. Свойства решений лоду. Теорема о

структуре общего решения.

44. ЛОДУ высшего порядка. Свойства решений ЛОДУ. Теорема о структуре общего решения

Если , то ЛДУ - однородное ДУ, (ЛОДУ).

Если , неоднородное (ЛНДУ)

Св-во реш. ЛОДУ(1’):

1. у=0 – решение(1’)

2. Если - реш.(1’), то для - тоже реш.(1’)

3. Если и -реш.(1’), то и

- реш.(1’)

4. Если комп. ф-ция - реш. (1’), то действ. ф-ция и

явл-ся реш.(1’)

Теорема. Пусть ЛОДУ непр. на (a;b) коэф. Тогда в области общим решением ЛОДУ (1’) является ф-ция

,

где n – порядок ЛОДУ, - система из n ЛНЗ на (a;b) решение ЛОДУ.

45. Линейная зависимость и независимость систем функций на

отрезке. Важные примеры ЛНЗ систем функций.

Пусть ф-ии µ₁(x),…, µ_k(x) определены на (a;b).

Эти ф-ии н-ся ЛНЗ на (a;b), если α₁µ₁(x)+…+ α_kµ_k(x)=0, ∀x ∈(a;b)

Только при α₁=α₂=…=α_k=0, то система наз-ся ЛНЗ на (a;b); в прот. случае

– ЛЗ на (a;b)

Пусть α₁(x),…,α_k(x) – ЛЗ на (a;b)  ∃α ≠ 0 (пусть, например, α₁=0),

Тогда α₁µ₁=-α₂µ₂-…-α_kµ_k , разделим на α₁≠ 0

µ ₁= (α₂/α₁)µ₂-…-(α_k/α₁)µ_k => µ ₁ – ЛК ост. ф-ий. µ ₂,…,µ _k т.е. система ЛЗ “неэкономная”

Примеры ЛЗ и ЛНЗ систем функций:

А) Система ф-ий, содерж. µ₁=0, всегда ЛЗ.

1µ₁+0µ₂+…+0µ_k=0

Б) Система, содерж. равные или пропорц. ф-ии -> ЛЗ

1µ₁+(-1)µ₂+0µ₃+…+0µ_k=0

В) Система {µ₁(x); µ₂(x)} – ЛЗ  µ₁(x)=kµ₂(x)

Г) Система многочленов:

{1,x,x²,…,x^k}

для ∀k≥1, k∈N

ЛНЗ на (-∞;+∞).

Пусть эта система ЛЗ: т.е. 1α₀+ α₁x+…+ α_kx^k=0 при нек. ненулевых коэф. α

Предположим α_l≠ 0 – последний ненулевой коэф., т.е. α_l+1=…=α_k=0

Тогда α₀+α₁x+…+α_lx^l=P_l(x) – многочлен от l => по осн. теореме алгебры ∃

ровно l (п.п.с. маленькая L)корней P_l(x)

Д) Система экспонент:

{e^λ1x, e^λ2x,…, e^λkx }

λ_i∈R и различные, ЛНЗ на (-∞;+∞)