38. Ду I порядка. Основные определения, понятия и теоремы

ДУ наз-ся соотношение вида:

(1.1)

Где F – изв. Функция от n+2 переменных, х – нез. пер. y = y(x) – неизв.ф-ция, y … yⁿ – её производная.

Если неизв-ая ф-ция y = y(x) зависит от 1 нез.перем, то ДУ наз-ся обыкновенным.

Порядок ДУ – наивысший порядок производной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ф-ция – решение ДУ (1.1) на интервале (а,в), если после подстановки в него и всех ее производных ур-ий (1.1) обращается в верное тождество для

Общий вид ДУ I порядка получ. Из (1.1) при n = 1

(1.2)

Если из 1.2 удается выразить y’, то вид ДУ 1-го порядка y’ = f(x,y) (1.3) наз-ся ДУ разрешенным относ. y’.

ТЕОРЕМА КОШИ: Пусть для ДУ 1.3 для которого f(x,y) непрерывна вместе с f’_y (x,y) в нек.обл Тогда в ДУ 1.3 обладает СЛЕР (т.е. задача Коши пост.для нач.усл y(x₀) = y_0, (x₀,y₀) имеет ед.решение.

Определение общего решения ДУ 1.3:

Пусть в нек. ДУ 1.3 обладает СЛЕР, Тогда однопараметрическое семейство ф-ций c – параметр, наз-ся общим решением ДУ 1.3 если вып.2 условия:

1. При доп.зн.С ф-ия – решение ДУ 1.3

2. Для М (х^*, y^*) C^* , что интеграл.кривая будет проходить ч\з выбр.точку М (х^*, y^*) (т.е. уд.нач. условию)

Частное решение – реш-ие полученное из общего реш-ия при конкр.знач. параметра С₀ .

Если общее (частное) решение ДУ получено в неявном виде, то оно Ф (x,y,C) = 0 наз-ся частным (общ) инт.ДУ.

Решение ДУ 1.3, которые не поучается из общего решения ни при каких знач-ях наз-ся особым решением.

39. Точные ду. Критерий точного ду. Методы интегрирования

M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0

Н-ся точным ДУ ( в полн.дифф ) если M(x,y) и N(x,y) имеет непр ч. произв. 1-го порядка в нек. Окр Р { a < x < b; c < y < d } при этом сущ-ет U(x,y) определенная в прям-ке Р для н-рой dU = M(x,y)dx + N(x,y)dy

Пусть 2.1 – точное, Тогда dU = 0  U = C общий интеграл точного ДУ.

ТЕОРЕМА: Пусть в нек.прям-ке Р { a < x < b; c < y < d } координаты M(x,y) и N(x,y) имеют непр.частн.производные 1-го порядка ДУ явл-ся точным в Р 

M’_y(x, y) = N’_x(x, y)

СВОЙСТВО: ДУ «быть точным» явл-ся свойством его коэфф-ов M(x,y) и N(x,y) такие множители r(x,y) при домножении на которые ДУ превр-ся в точные ДУ.

40. Уравнения с раздел-ся перем-ми. Однородные ду 1 порядка

Уравнение в котором одно слагаемое зависит только от х, а другое – от у.

P(x) dx + Q(y) dy = 0

Уравнение y’ = f₁(x)* f₂(y) также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить y’ = и разделить переменные.

Однородные ДУ 1 порядка

Функция f(x;y) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λⁿ т.е.

f(λ * x; λ * y) = λⁿ * f(x;y).

Т.е. Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Или же:

   называется однородным относительно x и y, если функция   является однородной степени 0:

.