Гідростатика. Рівняння Ейлера

Гідроста́тика (рос.гидростатика; англ. hydrostatics, fluid statics; нім. Hydrostatik)  — розділ гідромеханіки, що вивчає закони рівноваги рідини, які перебуває у стані абсолютного чи відносного спокою та рівноваги тіл, занурених у рідини за умови, коли відсутні переміщення часток рідини одна відносно одної.

Одне з основних завдань гідростатики — вивчення розподілу тиску в рідині. Знаючи розподіл тиску на підставі законів гідростатики, можна розрахувати сили, що діють з боку рідини, що знаходиться в стані спокою, на занурені в неї тіла, наприклад, на стіну греблі, занурений трубопровід, конструкції морських нафто- і газовидобувних платформ тощо. Зокрема, можна вивести умови плавання тіл на поверхні або усередині рідини, а також з'ясувати, за яких умов тіла, що плавають будуть мати стійкість, що особливо важливо в кораблебудуванні. На законах гідростатики, зокрема на законі Паскаля, ґрунтується робота гідравлічного преса, гідравлічного акумулятора, рідинного манометра, сифона й багатьох ін. машин і приладів.

Рідина, на відміну від твердих тіл, має властивість текучості, саме тому в рідині не може існувати анізотропії напружень, а значить замість багатокомпонентноготензора, напруження в рідині описується скалярною величиною  — тиском.

Основним завданням гідростатики є визначення (опис) скалярно

Рівняння Ейлера описує потік ідеальної рідини.

,

де:

  — векторне поле одиничних масових сил (сила, що діє на одиницю маси рідини);

  — густина (питома маса) рідини;

p  — тиск.

Це співвідношення може бути отримане з рівнянь Нав'є-Стокса, за умови, що швидкість дорівнює нулю. Воно справедливе як для нестисливої (ідеальної) рідини, так і для стисливої (реальної) рідини та газів.

Рівняння Ейлера описує потік ідеальної рідини.

,

де   — швидкість рідини, ρ — її густина, p — тиск.

Ідеальною рідиною називається рідина, для якої неістотні процеси теплопровідності й в'язкості.

У випадку дії масових сил, наприклад, для рідини в полі тяжіння, рівняння Ейлера записується

,

де   — прискорення вільного падіння.

Після певних перетворень рівняння Ейлера можна переписати в інших формах, які можуть бути зручними для певних випадків.

Враховуючи, що рівняння Ейлера описує адіабатний рух рідини, можна записати

,

де w — ентальпія рідини.

Ще одна форма запису виділяє в рівнянні Ейлера вихор

.

В наступній формі запису використовуться тільки вектор швидкості

.

Рівняння неперервності[ред. • ред. код]

Для знаходження розподілу густини, швидкості та тиску в рідині (разом 5 невідомих) рівняння Ейлера слід доповнити рівнянням для густини та рівнянням для ентропії.

Рівняння для густини — це — рівняння неперервності

.

Величина   називається потоком рідини.

Рівняння для ентропії:

.

Із врахуванням рівняння Ейлера рівнянь кількість рівнянь (5) дорівнює кількості змінних.

Граничні умови[ред. • ред. код]

Рівняння Ейлера потрібно доповнити граничними умовами на поверхнях, де рідина стикається з твердою речовиною. Оскільки рідина не може проникнути в тверде тіло, то на поверхні нормальна складова її швидкості обов'язково повинна бути нульовою.

,

де   — орт нормалі до поверхні.

На границі розділу двох рідин, які не змішуються, неперервними є тиск і нормальна складова швидкості.