4.6 Течение жидкости в концентричном кольцевом пространстве как в плоской щели

Для кольцевого пространства в уравнениеи (4.4) постоянная интегрирования С₁ не равна нулю, что существенно усложняет выкладки.

Задача упрощается, если учесть, что зависимость перепада давления от средне скорости течения жидкости в узком кольцевом пространстве, при D/d =R₂/R₁ <2, равна такой же зависимости для плоской щели шириной 2H=R₂-R₁ (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 - Эпюра касательных напряжений и скорости течения ньютоновской жидкости

Дифференциальное уравнение установившегося течения жидкости в плоской щели при ламинарном режиме (из условия равенства всех внешних сил нулю) имеет вид

(4.54)

его интегрирование дает

(4.55)

Но для плоской щели С₁ равен нулю, следовательно распределение касательных напряжений по сечению щели будет описываться выражением

(4.56)

а) в щели движется ньютоновская жидкость

(4.57)

Подставляя уравнение (4.56) в (4.57) и интегрируя, получим

(4.58)

Из граничного условия , получим , тогда

(4.49)

Как видно, в плоской щели как и в трубе скорость U (r) распределена по параболическому закону (рисунок 4.8), но средняя скорость составляет 2/3 от осевой части.

Рисунок 4.8 - Схема сил, действующего на элементарный объем жидкости в плоской щели

Средняя скорость течения в щели

Отсюда

(4.50)

Уравнение (4.50) есть уравнение Буссинеска для плоской щели, при d/D>0,5 оно справедливо и для круговой щели.

Приводя (4.50) к стандартному виду уравнения Дарси – Вейсбаха, получим

(4.51)

б) Пусть в плоской щели движется степенная жидкость, описываемая уравнением

(4.52)

Подставляя (4.52) в (4.56), и производя аналогичные предыдущему выкладки, получаем

Выражение (4.55) также может быть приведено в стандартному виду уравнения Дарси - Вейсбаха

(4.56)

в) Пусть в плоской щели движется Бингамовская жидкость.

В этом случае, как и в трубе, образуются две зоны. В зоне h<h₀, где τ<τ₀, будет иметь место течение с постоянной скоростью U₀, а в периферийных зонах, где τ>τ₀, скорость будет переменной от U₀ при h=h_o до нуля при h=H.

Рисунок 4.9 - Эпюра касательных напряжений и скорости течения жидкости Бингама в плоской щели

Подставляя уравнения Бингама , в (37), после интегрирования с учетом граничных условий

U (h)=0 при h=H и (4.57)

где

получим распределение скорости в области

(4.58)

Расход, вызванный перепадом давления

После интегрирования получим

(4.59)

где

(4.60)

Выражение (4.60) может приведено к виду

(4.61)

Зависимость показана на рисунке 4.10 –линия 2

	0	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	0,9
(ККП)	0	1,66	3,4	11,1	34,6	171	744
(трубы)	0	0,92	2,17	6,68	19,5	88,2	331

Рисунок 4.10 - Кривые зависимости для труб круглого (1) и кольцевого (2) поперечного сечения.

Зависимость коэффициента β от параметра Сен–Венана для течения бингамовской жидкости в трубе (1) и в концентричном кольцевом пространстве (2).