1. Функция «и». Два переключателя x и у соединены последовательно и связывают точки Р и Q (рис. 1.2, а). Пусть состояния переключателей выражаются с помощью двух булевых переменных A и В. Если переключатель x разомкнут, то A = 0, если замкнут, то A = 1. Аналогично, B = 0 или В = 1 в зависимости от того, разомкнут или замкнут переключатель у. Как и в случае одного переключателя, состояние соединения PQ выражается с помощью булевой переменной f, значение которой зависит от наличия связи между точками Р и Q.

С уществует четыре возможные комбинации значений переменных A и B. Они сведены в таблицу истинности, приведенную на рис. 1.2, б. Например, если переключатели х и у разомкнуты, то A = 0, B = 0, и связи между точками Р и Q нет. Следовательно, f = 0. С другой стороны, если х и у замкнуты, то A = 1, B = 1 и, следовательно, f = 1.

Рис. 1.2. Функция И:

а - переключательная контактная схема, реализующая функцию И; б - таблица истинности функции И; в - правила двоичного и булевого умножения (прав.: 11 = 1)

Функция «или». На рис. 1.4, а два переключателя х и у соединены параллельно и связывают точки Р и Q. Состояния переключателей и соединения PQ выражаются с помощью булевых переменных А, В и f соответственно. На рис. 1.4, б показана таблица истинности этой схемы. Если оба переключателя х и у разомкнуты, то А = 0, В = 0 и ясно, что связи между точками Р и Q нет; следовательно, f = 0. С другой стороны, если переключатель х замкнут, а у разомкнут, то А = 1, В = 0, и связь между точками Р и Q осуществляется с помощью переключателя х; следовательно, f = 1.

Т аблица, изображенная на рис. 1.4, б является таблицей истинности функции ИЛИ. Функцию ИЛИ иногда называют функцией булевого сложения. Анализ таблицы истинности показывает, что между точками Р и Q существует связь, если переключатель х замкнут или переключатель у замкнут или оба переключателя замкнуты.

Рис. 1.4. Функция ИЛИ:

а - переключательная контактная схема, реализующая функцию ИЛИ; б - таблица истинности функции ИЛИ;

в - правила двоичного булевого сложения

Строго говоря, эту функцию следует трактовать как ВКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Это название можно объяснить так: f = 1 в случае, когда А = 1 и В = 1; другими словами, условие А=1,B=1 включается. Ниже, когда будет определена функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, читатель увидит, что условие А = 1, В = 1 исключается, т. е. когда А = 1 и В = 1, значение функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ будет равно 0.

Функция «не». В булевой алгебре есть операции сложения и умножения, но нет операций деления и вычитания. Однако в булевой алгебре существует еще одна фундаментальная операция - это операция инверсии или дополнения. Рассмотрим переключательную схему, изображенную на рис. 1.6, а. Она состоит из двух связанных переключателей: если один из них замкнут, то другой обязательно разомкнут. На рис. 1.6,а разомкнутый переключатель представляется булевой переменной A, замкнутый - булевой переменной . Для верхнего переключателя А = 0, когда этот переключатель разомкнут, а для нижнего переключателя, который замкнут, когда верхний разомкнут, = 1. Говорят, что есть инверсия A или НЕ A. Следовательно, черта над булевой переменной A означает инверсию (или отрицание) переменной.

Рис. 1.6. Функция :

а - переключательная схема функции : б - таблица истинности функции

Таблица истинности функции приведена на рис. 1.6, б. Когда A=0 и = 1,то f = 1; аналогично, когда A = 1 и = 0, то f = 1. Это означает, что связь между точками существует всегда и не имеет значения, какой переключатель - верхний или нижний замкнут. Следовательно, уравнение для этой схемы выглядит

;

это уравнение - алгебраическая запись теоремы дополнительности.

Уравнение, двойственное по отношению к любому булевому уравнению, получается заменой каждого знака «+» на «» и заменой всех 1 на 0 и наоборот. По отношению к вышеприведенному уравнению эта процедура приводит к

Переключательная контактная схема, соответствующая этому уравнению, показана на рис. 1.7, а, а таблица истинности этой схемы - на рис. 1.7, б.

Рис. 1.7. Функция

а - переключательная схема функции ; б - таблица истинности функции

2. Функция и-не. Реализация функций и, или, не с помощью элементов и-не.

Теперь появилась возможность представлять булевы функции, используя переключательные и электронные схемы. При реализации булевых функций переключательными контактными схемами знаку «+» соответствует пара параллельных ветвей, знаку «•» - последовательное соединение переключателей, а знаку «-» - замкнутый переключатель. Например, функция

может быть реализована на основе переключательных контактных схем (рис. 1.10, а) и на основе электронных схем (рис. 1.10, б). Более сложная булева функция, например,

м ожет быть реализована так, как показано на рис. 1.11, а и 1.11, б.

Рис. 1.10. Функция :

а - реализация функции с помощью переключателей; б - реализация функции с помощью логических элементов

Рис. 1.11 Реализация функции :

а - помощью переключательных схем; б - с помощью логических элементов

3. Теорема идемпотентности.

В теореме утверждается, что

Ясно, что если A = 1, то уравнение приводят к виду

Если же А= 0, то

0 + 0 = 0.

Оба эти результата согласуются с правилами булевого сложения, приведенными на рис. 1.4, в.

Существует двойственная форма теоремы идемпотентности. Она может быть получена посредством применения правил, сформулированных выше. Ее вид .

Если А = 1, то выражение будет иметь вид .

Если же А = 0, то .

Д ва последних результата согласуются с правилами булевого умножения, приведенными на рис. 1.2, в. Для иллюстрации теоремы на рис. 1.12 приведены две переключательные контактные схемы.

Рис. 1.12. Иллюстрация теоремы идемпотентности с помощью переключательных схем:

а - реализация : б - реализация

Теоремы объединения и пересечения

В этих теоремах утверждается, что

и

Представим читателю возможность самому доказать справедливость этих теорем.

Теорема избыточности или поглощения

В этой теореме утверждается, что

А + АВ = А.

Ниже приведено одно из доказательств этого утверждения:

Говорят, что функция выражена в виде суммы произведений (конъюнкций) или в дизъюнктивной нормальной форме. Например, терм АВ является конъюнкцией двух переменных А и В и, следовательно, называется конъюнктивным термом.

Таким образом, в теореме утверждается, что в любой булевой функции, которая выражена в дизъюнктивной нормальной форме, конъюнкция, содержащая все переменные другой конъюнкции, является лишней. Это позволяет удалять лишние конъюнкции. Например, из функции

могут быть удалены термы и ACD, поскольку они содержат обе переменные, присутствующие в AD. Тогда функция примет вид f = АD.

На рис. 1.13 приведена иллюстрация теоремы с помощью переключательных контактных схем. Очевидно, что наличие связи между точками Р u Q не зависит от того, замкнут или разомкнут переключатель В: следовательно, переключатель В лишний. Уравнение, двойственное по отношению к уравнению А = А + АВ, имеет вид А = А(А + В).

Переключательная контактная схема, иллюстрирующая это соотношение, приведена на рис. 1.14.

Рис. 1.13. Переключательные контактные схемы, иллюстрирующие теорему поглощения

А = А+АВ

Рис. 1.14. Иллюстрация двойственной формы теоремы поглощения с помощью переключательных схем