1.4. Решение злп симплексным методом

Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования (КЗЛП)

, (1.18)

Опорное решение злп

Будем в дальнейшем считать, что ранг матрицы А системы уравнений равен m , причем m < n. То есть, система имеет множество решений, среди которых необходимо найти решение , максимизирующее линейную функцию .

Применив к системе (1.18) метод Жордана – Гаусса, можно привести её к виду:

(1.19)

где - базисные переменные, а - свободные переменные. Набор базисных переменных назовем базисом, а систему ограничений (1.19) назовем системой, приведенной к единичному базису. Выразим базисные переменные через свободные и получим общее решение системы ограничений (1.18).

(1.20)

Придавая свободным переменным произвольные числовые значения, будем получать из общего решения (1.20) различные частные решения.

Определение. Частное решение системы (1.19), полученное из общего при условии, что все свободные переменные равны 0, называется базисным решением данной системы.

В данном случае, если , базисные переменные примут значения . Соответствующее базисное решение примет вид: .

Так как базисными переменными могут быть разные группы m переменных (не обязательно ), то число базисов, а следовательно, и число соответствующих им базисных решений не превысит (количество способов выбора m переменных из n возможных). Таким образом, число базисных решений конечно.

Определение. Базисное решение, в котором все базисные переменные принимают неотрицательные значения, называется опорным решением (или опорным планом) ЗЛП.

Определение. Если в опорном плане хоты бы одна базисная переменная равна 0, то такой план называется вырожденным. Если в опорном плане все базисные переменные строго положительны, то он называется невырожденным.

Определение. План , при котором целевая функция ЗЛП принимает свое максимальное значение, называется оптимальным планом.

Симплексный метод решения злп

Аналитический метод основывается на следующих утверждениях:

1. Область допустимых решений ЗЛП является выпуклым множеством с конечным числом угловых точек, т.е. многогранником или многоугольной областью.

2. Оптимальное решение ЗЛП достигается в одной из угловых точек области допустимых решений.

3. Угловые точки области допустимых решений алгебраически представляют собой опорные планы системы ограничений (1.18) ЗЛП.

Симплексные метод решения ЗЛП – это метод последовательного улучшения плана, который позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальный план, либо установить его отсутствие.

Симплексный метод состоит из трех основных этапов:

1. Отыскание начального опорного плана.

2. Переход от одного опорного плана к другому, значение целевой функции в котором больше, чем в предыдущем.

3. Проверка оптимальности полученного плана, позволяющая своевременно остановить перебор опорных планов или сделать вывод об отсутствии оптимального плана.

Симплекс - метод основан на следующих теоремах, которые приводятся без доказательства.

Теорема 1.2 (о существовании опорного плана)

Если линейная форма ограничена сверху на непустом множестве D, то ЗЛП разрешима, то есть существует такая точка , что .

Теорема 1.3 (признак оптимальности опорного плана)

Опорный план задачи (1.18) является оптимальным, если для всех j , выполняется , где величина

(1.21)

называется симплекс – разностью или оценкой.

Теорема 1.4 (признак отсутствия оптимального плана)

Если при некотором k и среди чисел , нет положительных, т.е. все , целевая функция задачи не ограничена на множестве допустимых решений и не имеет конечного решения.

Теорема 1.5 (признак существования лучшего опорного плана)

Если опорный план задачи (1.18) не вырожден и для некоторых k, но среди чисел , есть хоты бы одно положительное, т.е. не все , то существует опорный план , в котором целевая функция принимает значение не меньше, чем в предыдущем плане: .