Задачи о составлении рациона (или задачи о диете, о смесях)
В коммерческой деятельности часто возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных закупок продуктов, обеспечивающих необходимый рацион питания для поддержания нормальной жизнедеятельности человека; задачи по формированию диетического питания; задачи составления кормовых смесей на животноводческих фермах и др. Задачи о рациональном питании решаются в условиях ограниченного ассортимента, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах. При решении подобного рода задач необходимо из всех возможных вариантов выбрать самый дешевый.
Пример 3. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице. Требуется составить суточный рацион, содержащий не менее суточной потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.
Питательные вещества |
Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов |
Нормы суточной потребности |
||||||
мясо |
рыба |
молоко |
масло |
сыр |
крупа |
картофель |
||
Белки,г |
180 |
190 |
30 |
70 |
260 |
130 |
21 |
118 |
Жиры,г |
20 |
3 |
40 |
865 |
310 |
30 |
2 |
56 |
Углеводы, г |
0 |
0 |
50 |
6 |
20 |
650 |
200 |
500 |
Минеральные соли, г |
9 |
10 |
7 |
12 |
60 |
20 |
70 |
8 |
Стоимость 1 кг продукта, усл. ед |
1,9 |
1,0 |
0,28 |
3,4 |
2,9 |
0,56 |
0,1 |
|
Построим математическую модель задачи:
Обозначим xj, (кг) – количество закупаемого продукта питания вида j, где j=1,…,7.
Запишем целевую функцию общей стоимости продуктов, входящих в суточный рацион и определим систему ограничений задачи. В ограничениях отразим условия содержания питательных веществ в суточном рационе в объеме, не меньшем суточной потребности в них и условия неотрицательности искомых переменных.
Математическая модель задачи имеет вид:
Задачи о раскрое материалов (о минимизации отходов)
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, состоящими в разработке таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.
Пример 4. Стальные прутья длиной 110 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45, 35 и 50 см. Требуемое количество заготовок данного вида составляет соответственно 40, 30 и 20 шт. Возможные варианты разреза и величина отходов при каждом из них приведены в следующей таблице:
Длина заготовки, (см) |
Вариант разреза |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
45 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
35 |
|
1 |
|
3 |
1 |
|
50 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
Величина отходов (см) |
20 |
30 |
15 |
5 |
25 |
10 |
Определить, сколько прутьев по каждому из возможных вариантов следует разрезать, чтобы получить не менее нужного количества заготовок каждого вида при минимальных отходах.
Обозначим: Хi – количество прутьев, разрезанных по i-му варианту разреза, где i=1,…,6.
Математическая модель задачи имеет вид:
