Задачи для самостоятельного решения.

1. Фирма А производит некоторый сезонный товар, имеющий спрос в течение 3 лет, и который она может поставить на рынок в один из моментов i (i = 1, 2, 3).

Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна D, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в один из моментов j (j=1,2,3). Цель фирмы В - разорение фирмы А, после чего, используя капитал концерна D, она может легко наверстать упущенное. Единственным законным средством фирмы В в конкурентной борьбе является выбор момента поставки товара на рынок, так как понижение цены на поставляемый товар запрещено определенным соглашением. Для разорения фирмы А фирма В должна минимизировать ее доходы. Пусть технология выпуска товара такова, что чем дольше он находится в производстве, и, следова­тельно, позже поступает на рынок, тем выше его качество, а реализуется товар только более высокого качества (так как цена на товары разного качества одна и та же). Доход от продажи товара в единицу времени составляет 4 денежных единиц.

Требуется построить матрицу выигрышей фирмы А, где под выиг­рышем понимается в данном случае доход этой фирмы, зависящий от складывающихся ситуаций. Используя полученную матрицу игры, найти все оптимальные стратегии обоих игроков. Предварительно проверить наличие седловой точки и возможности доминирования.

2. В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А - государственная налоговая инспекция; В – налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет 13 % годовых.

У стороны А два возможных варианта поведения. А₁ – не контролировать доход налогоплательщика; А₂ – контролировать доход налогоплательщика В и взимать с него:

- налога в размере 13 % годовых, если доход заявлен и соответствует действительности;

- налога в размере 13 % годовых и штрафа в размере 7%, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего налога.

У стороны В три стратегии поведения: В₁ – заявить о действительном доходе; В₂ – заявить доход меньше действительного и реально налог в этом случае составит 7%; В₃ – скрыть доход, тогда не надо будет платить налог.

Составить матрицу игры и найти все оптимальные стратегии обоих игроков. Предварительно проверить наличие седловой точки и возможности доминирования.

3. Доминировать матрицу игры: .

Найти верхнюю и нижнюю цену игры, максиминные и минимаксные стратегии игроков.

4. Решить графически игру, заданную матрицей: .

5. Требуется найти оптимальные стратегии первого игрока в игре с природой в условиях полной неопределённости, используя все известные критерии. Уровень пессимизма принять 0,6. Дать обоснованные рекомендации игроку А. Матрица игры с природой в условиях полной неопределённости задана следующая:

.

Решить эту же игру в условиях риска, если известны вероятности состояний природы:

.

Уровень достоверности информации о вероятностях состояний природы принять u = 0,7.

Ответы:

1. Матрица игры . В игре есть две седловые точки: (А₁,В₂) и (А₂.В₂). То есть, фирме А нужно выходить на рынок в 1 или 2 год, а фирме В во второй год. Цена игры = 4 денежным единицам.

2. Матрица игры . В игре есть седловая точка: (А₁,В₁). То есть, налоговой инспекции необходимо придерживаться первой стратегии, т.е. контролировать доходы налогоплательщика, а налогоплательщику – заявлять истинный доход. Цена игры = 13 %.

3. . Нижняя цена игры =3 и соответствующая максиминная стратегия первого игрока А₅; верхняя цена игры = 4 и соответствующая минимаксная стратегия второго игрока В₄.

4. Р^*(0; 0,5; 0; 0; 0,5), Q^*(0,5; 0,5), =4.

5. По критерию Вальда – А₂ или А₄; по критерию Сэвиджа – А₄ или А₅; по критерию максимакса - А₄; по критерию Гурвица с уровнем пессимизма 0,6 - А₄; по критерию Байеса – А₁; по критерию Лапласа - А₄; по критерия Ходжа – Лемана с уровнем достоверности информации о вероятностях состояний природы u = 0,7 – А₁.