1. Линейное программирование

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования приводится широкий круг вопросов планирования экономических и технико-экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения; само возникновение и развитие линейного программирования непосредственно связано с экономической проблематикой.

1.1. Постановка задачи линейного программирования (злп)

Задачи линейного программирования имеют несколько вариантов постановок, т.к. левая и правая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками  ,  или =. Также и переменные, фигурирующие в линейных моделей, могут быть неотрицательными, отрицательными или не иметь ограничений в знаке.

Общая постановка задачи линейного программирования

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) может быть сформулирована следующим образом: найти значения переменных Х₁, Х₂,…,Хn, максимизирующие линейную форму

(1.1)

при условиях:

(1.2)

(1.3)

Значения переменных (j=1,2,…,n) можно рассматривать как компоненты некоторого вектора пространства .

Определение. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования будем называть вектор пространства , компоненты которого удовлетворяют ограничениям задачи.

Множество всех планов задачи линейного программирования (1.1) – (1.3) будем обозначать D.

Теорема 1.1 Множество планов D задачи линейного программирования (ЗЛП) есть замкнутое выпуклое множество.

Множество D может быть как ограниченным, так и неограниченным, кроме того оно может оказаться пустым.

Напомним, что множество точек D пространства есть выпуклое множество, если вместе с любыми двумя его точками и ему принадлежит и любая выпуклая линейная комбинация этих точек, то есть если , , то и любая точка

, 0 ≤ λ ≤ 1

также принадлежит множеству D.

С геометрической точки зрения это означает, что если множество выпуклое, то вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит весь отрезок АВ.

На рис. 1.1. изображены два множества в пространстве R²: область D - выпуклая, а область D₁ – не является выпуклой.

Рис. 1.1. Пример выпуклого и невыпуклого множеств

Нетрудно доказать, что прямая, плоскость и полуплоскость являются выпуклыми множествами.

Множество точек пространства , компоненты которых удовлетворяют условию называется гиперплоскостью пространства .

Множество точек пространства , компоненты которых удовлетворяют условию называется полупространством пространства .

Очевидно, что гиперплоскость и полупространство являются выпуклыми множествами пространства .

Напомним, что точка выпуклого множества D является крайней (угловой), если в D не существует таких точек и , ≠ , что , при некотором .

Геометрически это означает, что эта угловая точка не может лежать внутри отрезка, соединяющего две точки выпуклого множества. Она лишь может быть одной из концевых точек этого отрезка.

На рис. 1.1 угловыми точками выпуклого множества D являются его вершины K, L, M, N.

Определение. План будем называть решением задачи линейного программирования или ее оптимальным планом, если

Определение. Будем говорить, что задача линейного программирования разрешима, если она имеет хотя бы один оптимальный план.