1.7. Двойственность в линейном программировании Виды двойственных задач. Построение двойственных задач

Понятие двойственности представляет большой интерес как в теоретическом, так и практическом отношении. На основе теории двойственности разработаны методы проведения качественных исследований ЗЛП, в частности методы анализа линейных моделей на чувствительность.

Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие другую задачу, называемую двойственной по отношению к первой. Первоначальная задача является исходной (прямой задачей). Прямая и двойственная задачи образуют единую двойственную пару.

Взаимосвязь между исходной и двойственной задачами.

1. Если исходная задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации, и наоборот.

2. Каждому i – му ограничению системы ограничений исходной задачи ставят в соответствие переменную y_i двойственной задачи и наоборот: каждому j – му ограничению двойственной задачи ставят в соответствие x_j переменную исходной задачи.

3. Число ограничений в системе одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

4. Коэффициенты при переменных в целевой функции исходной задачи являются правыми частями в системе ограничений двойственной задачи и наоборот.

5. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными по отношению друг к другу.

6. Взаимно однозначное соответствие между переменными исходной задачи и ограничениями двойственной удовлетворяет следующему положению:j – е ограничение двойственной задачи будет неравенством, если на j – ю переменную исходной задачи наложено требование неотрицательности; если j – я переменная не ограничена в знаке, j - е ограничение будет равенством.

Различают симметричные, несимметричные и смешанные двойственные задачи.

Математические модели пары двойственных задач могут иметь один из следующих видов.

Симметричные двойственные задачи

(стандартные формы)

Исходная задача	Двойственная задача
Исходная задача	Двойственная задача

Особенности составления симметричных двойственных задач

1. В двойственной паре симметричных задачах системы ограничений задаются в виде неравенств

2. В двойственной паре симметричных задач на переменные наложены условия неотрицательности

Правила формирования двойственной симметричной задачи

1. Привести все неравенства системы к одному виду: если в исходной задаче ищут максимум целевой функции, то все неравенства системы должны быть со знаком ≤, а если минимум, то ≥. Для этого неравенства, не удовлетворяющие данным требованиям умножают на (-1).

2. Составить по исходной системе ограничений расширенную матрицу, включающую матрицу коэффициентов при переменных в ограничениях, столбец правых частей и строку коэффициентов при переменных в целевой функции:

3. Сформировать транспонированную матрицу:

4. Сформулировать двойственную задачу, используя вышеперечисленные правила.