37. Конечные и бесконечные множества.

С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества

Множества обычно обозначают большими латинскими буквами: A ,B , C , N , ..., а элементы этих множеств ? аналогичными маленькими буквами: a, b , c , n ,

Часто множество записывают в виде A = {a, b, ..}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.

Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a А если же данный элемент a не принадлежит множеству А, то пишут а П?А.

В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q , множество действительных чисел R.

Множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

     Иными словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: a₁, a₂, ..., a_n, причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до n будут использованы и различные элементы получат различные номера. Бесконечное же множество такое, элементы которого так "пересчитать" нельзя.

     Из свойств 2) и 3) равномощности, приведенных в предыдущем параграфе, следует, очевидно, что множество, равномощное конечному (или бесконечному) множеству, само будет конечным (соответственно, бесконечным).

40. Компоненты связности, следствия.

Граф называется связным, если для любых двух его вершин v, w существует простая цепь из v в w.

Определение. Граф (орграф) называется связным (сильно связным), если для любых двух его вершин v, w существует маршрут (путь), соединяющий v, w (из v и w).

Определение. Орграф называется односторонне связным, если для любых его двух вершин, по крайней мере, одна достижима из другой.

Определение. Если граф не является связным, то он называется несвязным.

Определение. Компонентой связности графа называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа.

В дальнейшем количество компонент связности графа будем обозначать k.

Следствие. Любой простой граф с n вершинами и более чем (т-1)(т-2)/2 ребрами связен.

При исследовании графов возникает вопрос: насколько сильно связен связный граф? Этот вопрос можно сформулировать и так: сколько ребер нужно удалить из графа, чтобы он перестал быть связным? Под операцией удаления вершин из графа будем понимать операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с инцидентными ей ребрами.