33. Виды и способы задания графов
Графы принято изображать рисунками, состоящими из точек, называемыми вершинами, и линий, называемыми дугами,соединяющими две вершины графа.
Форма дуг несущественна, важен только сам факт соединения вершин. Дуги могут пересекаться, но точки пересечения не являются вершинами графа.
Если дуги имеют направление (ориентацию), отмеченное стрелкой, то такие графы называются ориентированными или орграфами.Дуги графа часто называют ребрами.
Вершины графа будем
обозначать v
,
а дуги x
.
На рис.3.1 изображен граф, а на рис.3.2 –
орграф.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис3.1 Рис.3.2
Дуга в орграфе, имеющая направление от вершины v к вершине vј , назы-вается выходящей из вершины vi и заходящей в вершину vj. При этом вершина vi называется началом дуги, а vj – ее концом.
Дуги, соединяющие две одинаковые вершины не ориентированного графа, называются кратными. На рис.3.1 это дуги x1 и x2.
Дуга, выходящая из вершины и входящая в нее, называется петлей. На рис.3.2 это дуга x4.
Дуги орграфа
называются параллельными,
если они соединяют две одинаковые
вершины графа и имеют одно направление.
На рис.3.2 это дуги x
и x
.
Дуги орграфа называются противоположными, если они соединяют две одинаковые вершины графа и противоположно направленны. На рис.3.2 это дуги x1
и x2.
Две вершины графа называются смежными, если они соединены дугой, иначе они называются несмежными.
Вершина графа (орграфа) называется изолированной, если она не соединяется дугой с другими вершинами графа. На рис.3.1 это вершина v .
Граф с кратными дугами и петлями называется псевдографом. Ориентированный псевдограф соответственно имеет параллельные дуги и петли. Орграф на рис.3.2 является ориентированным псевдографом.
34 Корректно поставленная задача
Корректно поставленная задача в математике — прикладная задача, математическое решение которой существует, единственно и устойчиво[1]. Происходит от определения, данного Жаком Адамаром, согласно которому математические модели физических явлений должны иметь следующие свойства:
Решение существует.
Решение единственно.
Решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.
Некорректно поставленная задача — задача, не обладающая каким-либо из свойств корректно поставленной задачи.
Примерами типичных корректно поставленных задач являются задача Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение диффузии с заданными начальными условиями. Они могут рассматриваться как «естественные» задачи — в том смысле, что существуют физические процессы, описываемые решениями данных задач. С другой стороны, обратная задача для уравнения диффузии — нахождение предыдущего распределения температуры по конечным данным — не является корректно поставленной, потому как её решение очень чувствительно к изменениям конечных данных.
Некорректно поставленными весьма часто оказываются обратные задачи. Подобные непрерывные задачи часто приходится дискретизировать, чтобы получить численное решение. Несмотря на то, что с точки зрения функционального анализа такие задачи обычно являются непрерывными, они могут быть подвержены неустойчивости численного решения при вычислениях с конечной точностью или при ошибках в данных. Некорректные задачи могут возникать при обработкегеофизических, геологических, астрономических наблюдений, при решении проблем оптимального управления и планирования.
Даже если задача является корректно поставленной, она всё ещё может быть плохо обусловленной, то есть небольшая ошибка в начальных данных способна привести к много бо́льшим ошибкам в решениях. Плохо обусловленные задачи отличаются больши́м числом обусловленности.
Если задача корректно поставлена, то имеется неплохой шанс её численного решения с использованием устойчивого алгоритма. Если же задача поставлена некорректно, то сначала нужно её переформулировать; обычно это для этого вводятся некоторые дополнительные предположения (такие, как предположение о гладкости решения). Данная процедура называется регуляризацией, причём наиболее широко используется регуляризация Тихонова, применимая к линейным некорректно поставленным задачам.
Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.
Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:
;
.
Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:
.
При 
видно,
что 
по
;
следовательно, решение должно также
приближаться к нулю. Однако же, в общем
случае, когда 
.
То есть, непрерывной зависимости от
начальных данных нет и, следовательно,
задача поставлена некорректно.
35 .Проблема семи мостов Кёнигсберга или Задача о кёнигсбергских мостах (нем. Königsberger Brückenproblem) — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Впервые была решена в 1736 году немецким и русским математиком Леонардом Эйлером.
История
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.
В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Ответ был «нельзя».
Решение задачи по Леонарду Эйлеру
На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:
Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно быть чётно. Не может существовать граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Граф кёнигсбергских мостов имел четыре (синим) нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
→
→
Упрощённая схема мостов Кёнигсберга. Значение букв и цифр — см. комментарий к старинной карте Кёнигсберга |
Граф кёнигсбергских мостов |
Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение в транспортных и коммуникационных системах (например, для изучения самих систем, составления оптимальных маршрутов доставки грузов или маршрутизации данных в Интернете).