18. Планарный граф

— граф, который может быть изображён на плоскости без пересечения ребер. Иначе говоря, граф планарен, если он изоморфен некоторому плоскому графу, т.е. графу, изображённому на плоскости так, что его вершины — это точки плоскости, а рёбра — кривые на ней. Области, на которые граф разбивает плоскость, называются его гранями.

Простейшие свойства плоских графов Формула Эйлера

Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количеством вершин  , ребер   и граней   (включая внешнюю грань):

Оно было найдено Эйлером в 1736 г.^[1] при изучении свойств выпуклых многогранников. Это соотношение справедливо и для других поверхностей с точностью до коэффициента, называемого эйлеровой характеристикой. Это инвариант поверхности, для плоскости или сферы он равен двум, а, например, для тора — нулю.

Формула имеет множество полезных следствий. Во-первых, все плоские укладки одного графа имеют одинаковое количество рёбер. Во-вторых, если каждая грань ограничена не менее чем тремя рёбрами (при условии, что в графе больше двух ребер), а каждое ребро разделяет две грани, то

следовательно,

то есть, при большем числе рёбер такой граф заведомо непланарен. Обратное утверждение не верно: в качестве контрпримера можно взять граф Петерсена. Отсюда следует, что в планарном графе всегда можно найти вершину степени не более 5.

Общая формула также легко обобщается на случай несвязного графа:

где   — количество компонент связности в графе.

Два примера непланарных графов Полный граф с пятью вершинами[

K₅, полный граф с 5 вершинами

Лемма. Полный граф с пятью вершинами (К₅) нельзя уложить на плоскость.

Доказательство. Для него не выполняется  .

«Домики и колодцы»[править | править исходный текст]

Граф «домики и колодцы» (K_3,3)

Задача о трёх колодцах. Есть три дома и три колодца. Можно ли так проложить дорожки между домами и колодцами, чтобы от каждого дома к каждому колодцу вела дорожка, и никакие две дорожки не пересекались бы. Мосты строить нельзя.

Лемма. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой из долей (К_3,3) нельзя уложить на плоскость.

Доказательство. По формуле Эйлера граф имеет 5 граней.

С другой стороны: любая грань (включая внешнюю) содержит не менее 4 рёбер. Поскольку каждое ребро включается в ровно две грани, получается соотношение  , F — количество граней, E — количество рёбер. Подставляем в это неравенство F = 5 и E = 9 и видим, что оно не выполняется.

Теорема Понтрягина — Куратовского

В общем случае найти K₅ или K_3,3 довольно сложно. На первый взгляд кажется, что граф Петерсена содержит K₅. Оказывается, нет — в нём есть подграф, стягивающийся в K_3,3.

Очевидно утверждение: если граф G содержит подграф, гомеоморфный K₅ или K_3,3, то его невозможно разложить на плоскости. Оказывается, верно и обратное.

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу из пяти вершин (K5) или графу «домики и колодцы» (K3,3).

Теорему также можно сформулировать в следующем варианте (иногда его называют «теорема Вагнера»).

Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, стягивающихся в K5или K3,3.

21. Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности. Отношение f≤A×B называется функцией отображения из A в B если 

1. δf=A

2. из (x,y1) є f (x,y2) є f следует y1=y2

f:A->B ,(x,y) є f , y=f(x) Если δf≤A, тогда f- частичная функция f:A->B называется разнозначной, 1-1 функцией или инъекцией, если из х1=х2 следует, что f(x1)≠f(x2)

f :A->B f- инъекция, если 1/f- частичная функция f:A->B называется функцией из А на В или сюръекцией, если область значений ρP=В полностью совпадает f(A)=B f: A->B Взаимооднозначным соответствием или биекцией, если f- одновременно инъекция и сюръекция Множество всех функций действующих из А в В = {f|f:A->B} f: N->B –называется последовательность f(0), f(1),… f(n)