23. Плотность распределения
Пусть
имеется непрерывная случайная величина
с
функцией распределения 
,
которую мы предположим непрерывной и
дифференцируемой. Вычислим вероятность
попадания этой случайной величины на
участок от
до 
:
,
т.е.
приращение функции распределения на
этом участке. Рассмотрим отношение этой
вероятности к длине участка, т.е. среднюю
вероятность, приходящуюся на единицу
длины на этом участке, и будем приближать 
к
нулю. В пределе получим производную от
функции распределения:
.
(5.4.1)
Введем обозначение:
.
(5.4.2)
Функция 
-
производная функции распределения –
характеризует как бы плотность, с которой
распределяются значения случайной
величины в данной точке. Эта функция
называется плотностью распределения
(иначе – «плотность вероятности»)
непрерывной случайной величины
.
Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения
24. Свойства функций распределения
Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.
непрерывна справа:[1]
не убывает на всей числовой прямой.
.
.
Распределение случайной величины
однозначно
определяет функцию распределения.Верно и обратное: если функция
удовлетворяет
четырём перечисленным выше свойствам,
то существует вероятностное пространство
и определённая на нём случайная
величина, такая что
является
её функцией распределения.
По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел
в
любой точке 
,
и он совпадает со значением функции 
в
этой точке.В силу неубывания, функция также имеет и левый предел
в
любой точке
,
который может не совпадать со значением
функции. Таким образом, функция
либо
непрерывна в точке, либо имеет в
ней разрыв
первого рода.
25. Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений хi с вероятностями рi , называется сумма:
(6а)
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):
(6б)
Несобственный интеграл (6б) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М ( Х) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х. Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.
Свойства математического ожидания:
(7)
Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:
(8)
Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М ( Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:
(9)
Здесь m = М ( Х ).
Свойства дисперсии:
(10)
Среднее квадратичное отклонение:
(11)
Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.