18. Понятие случайной величины

Величина называется случайной, если в результате испытания она примет только одно значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. 

  Случайные величины обозначаются прописными буквами X, Y, Z ..., а всевозможные значения —х, у, z. Если случайная величина X имеет несколько возможных значений, то эти значения обозначаются как х₁, х₂, х₃, ... 

  При изучении предыдущих статей мы часто встречались со случайными величинами. Так, при бросании игральной кости число выпавших очков является случайной величиной, в зависимости от случая принимает значения от 1 до 6. При стрельбе в мишень мы также имеем дело со случайной величиной (числом попадания в мишень). Примером случайной величины может служить число бракованных деталей в партии деталей и т.д. 

  Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений можно заранее перечислить. 

  Если случайная величина может принимать все значения из некоторого промежутка   

(а, b), то она называется случайной непрерывной величиной.

19. Способы задания случайных величин.

20.Биномиальное распределение.

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из  независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна  .

Пусть   — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковоераспределение Бернулли с параметром  , то есть при каждом   величина   принимает значения   («успех») и  («неудача») с вероятностями   и   соответственно. Тогда случайная величина

имеет биномиальное распределение с параметрами   и  . Это записывается в виде:

.

Случайную величину   обычно интерпретируют как число успехов в серии из  одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха   в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

где

 — биномиальный коэффициент.

M(x)=n*p

D(x)=n*p*q

21. Распределение пуассона.

Третье широко используемое дискретное распределение – распределение Пуассона. Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если

,

где λ – параметр распределения Пуассона, и P(Y=y)=0 для всех прочих y (при y=0 обозначено 0! =1). Для распределения Пуассона

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Это распределение названо в честь французского математика С.Д.Пуассона (1781-1840), впервые получившего его в 1837 г. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение

22. Функция распределения

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события  , а вероятностью события  , где   – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от  , есть некоторая функция от  . Эта функция называется функцией распределения случайной величины   и обозначается  :

.         (5.2.1)

Функцию распределения   иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения   есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при    .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:  .