39.Действия над случайними процессами

40.Предмет и задачи математической статистики

Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных. Любая наука решает в порядке возрастания сложности и важности следующие задачи:1) описание явления;2) анализ и прогноз;3) поиск оптимального решения. иТакого рода задачи решает и математическая статистика: 1) систематизировать полученный статистический материал; 2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины; 3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения. Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Она может быть сформулирована следующим образом: имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Необходимо определить, противоречат ли эти данные той или иной гипотезе, например, гипотезе о том, что исследуемая случайная величина распределена по определенному закону, или две случайные величины некоррелированы (т.е. не связаны между собой) и т.д. В результате проверки правдоподобия гипотезы она либо отбрасывается, как противоречащая опытным данным, либо принимается, как приемлемая. Таким образом, математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в полученных опытных данных, оценить, значимы или нет определенные наблюденные факты, принять или отбросить те или иные гипотезы о природе рассматриваемого явления.

41. Генеральная совокупность и выборка

Понятия генеральной совокупности и выборки из нее являются основополагающими в статистике. Строгие определения заимствованы из теории вероятностей, хотя терминология этих двух наук различается. Вместо случайной величины   в теории вероятностей, в математической статистике вводится понятие о генеральной совокупности. Под генеральной совокупностьюпонимают множество всех возможных значений случайной величины [3, 4, 9].

Вместо эксперимента (испытания, опыта), в результате которого случайная величина   приняла значение   (в теории вероятностей), в математической статистике вводится понятие о случайном выборе из генеральной совокупности   значения  . Уместная в теории вероятностей фраза «в результате   независимых испытаний случайная величина    приняла значения  » преобразуется: «случайная выборка   объема   извлечена из генеральной совокупности  ».

Рассмотрим определения понятия «выборка», даваемые в [3, 4, 5].

Выборка – множество независимых, одинаково распределенных случайных величин.

Выборка – множество числовых значений, которые приняла исследуемая случайная величина в повторных независимых испытаниях (при этом отдельные числовые значения случайной величины в каждом испытании называются реализациями данной случайной величины, а сами испытания проводятся в неизменных условиях).

Эти два определения эквивалентны. Действительно, при рассмотрении задачи – вычисление среднего значения случайной величины Х (числа очков на грани игральной кости) – можно построить опыт двумя способами: подбрасывать один кубик много раз (  раз) и вычислить среднее арифметическое по этим n реализациям (второе определение), или можно взять n одинаковых кубиков, подбросить их один раз, обеспечивая одинаковые условия испытаний (первое определение). Очевидно, значения средних арифметических, вычисленных по результатам обоих опытов, будут различны, поскольку среднее арифметическое как функция от реализаций случайной величины само является случайной величиной. А математическое ожидание как среднее по всей генеральной совокупности будет одинаковым и равным  .

Выборку можно понимать и как совокупность случайно отобранных объектов. В этом случае генеральная совокупность – совокупность объектов, из которых производится выборка. Приводя данное определение, необходимо упомянуть о повторных и бесповторных выборках. Повторная выборка производится таким образом, что отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед отбором следующего. При бесповторной выборке отобранные объекты не возвращаются в генеральную совокупность.