37. Стационарные случайные процессы.

Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек   на величину  , т.е.              Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме, каковым является, например, шум на выходе усилителя через достаточно большой промежуток времени после его включения.

       Если приведенное выше условие не выполняется, то процесс называется нестационарным. Нестационарный процесс будет наблюдаться, например, на выходе какого-либо генератора шумов непосредственно после его включения.

Из определения стационарного процесса следует, что

     

т.е. одномерная функция распределения вообще не зависит от времени, а двумерная функция распределения зависят только от разностей времен  . Отсюда следует, что для стационарного случайного процесса среднее значение и дисперсия являются постоянными величинами, т.е. не зависит от времени

                        а корреляционная функция такого процесса зависит только от одной переменной  :

                       

      случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен  . Стационарность в широком смысле не тождественна строгому определению стационарности. Случайные процессы, стационарные в строгом смысле, всегда стационарны в широком смысле, но не наоборот.      

38.Корреляционные функции и спектральные плотности

Корреляционная функция — функция времени или пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X(t) и Y(t) определяется как:

,

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

.

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

.

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Спектральная плотность случайного процесса характеризует распределение дисперсий по частотам спектра с выделением превалирующих частот. [1]По формулам, связывающим спектральные плотности случайных процессов на входе и выходе линейной системы с ее частотной характеристикой, подсчитываем спектральные плотности каждой из составляющих ошибки. [2]В общем случае восстановить спектральную плотность случайного процесса с непрерывными значениями параметра t по известной спектральной плотности соответствующего ему дискретного процесса, как видно из рис. 217, в, невозможно. [3]В общем случае восстановить спектральную плотность случайного процесса, с непрерывными значениями параметра t по известной спектральной плотности соответствующего ему дискретного процесса, как видно из рис. 217, в, невозможно. [4]Описание математической модели закончим рассмотрением спектральной плотности случайного процесса Y ( t), реализации которого получают из опыта. [5]Полученные в § 8.8 выражения спектральной плотности выходного случайного процесса могут быть использованы для определения среднеквадратичного значения выходной величины. [6]Прежде чем подойти к понятию о спектральной плотности случайного процесса и его связи с корреляционной функцией, напомним некоторые сведения из теории интеграла Фурье. [7]Полное экспериментальное определение корреляционной функции или спектральной плотности пространственно-временного случайного процесса связано, как правило, со значительными трудностями. Поэтому для приближенных оценок обычно используют простейшие аналитические зависимости. [8]О характере автокорреляционных функций и функций спектральной плотности случайного процесса изменения аксиальной скорости газа wz ( t) можно судить по рис. 3.19, на котором представлены эти характеристики для слоя частиц силикагеля d 3 6 мм в колонке диаметром 220 мм и Г 0 3 при трех различных режимах псевдоожижения. [9]