Глава 3. Вычисление определенного интеграла

Теорема. Первообразная как интеграл с переменным верхним пределом. Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то функция Ф(х) = , где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф(x) = f(x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f(x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента х столь малым, чтобы точка х + х лежала внутри отрезка [a,b], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 3.1), приращение обозначено зеленым цветом).

Ф(х) = Ф(х + х) - Ф(х) = =

Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем

Ф(x) = = f(с)x, где с  [x, x+x].

Рис. 3.1. Интеграл с переменным верхним пределом.

Следовательно, = f(с). Поскольку f(x) непрерывна и с  x , если х  0, то Поэтому производная функции Ф(х) равна f(x)

. (3.1)

А так как производная функции Ф(х) равна f(x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f(x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f(x) .

Этот факт показывает, что дифференциальное и интегральное исчисление представляет собой нечто единое и известен, как основная теорема математического анализа.

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на интервале [a,b], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка

(3.2)

Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную

Ф(x) = = F(x) + C. (3.3)

Константу С легко выразить через значение первообразной F(х) в точке а. Действительно принимая во внимание, что

Ф(а) = = 0 (3.4)

из (3.4) получим:

- F(a) = C. (3.5)

Поскольку

Ф(b) = , (3.6)

то, подставив (3.5) и (3.6) в (3.3) получим основную формул математического анализа - формулу Ньютона – Лейбница

(3.7)

где F(x) - первообразная для функции f(x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F(x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела.

Формула (3.5) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. . Следовательно, по формуле (3.7)

При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

= - (3.8)

Пример 2. Вычислить

Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х’=1, то целесообразно, используя (3.8) положить u = x. Тогда

=

Замена переменной в определенном интеграле. Во многих случаях подынтегральное выражение можно упростить, если заметить, что его часть является дифференциалом некоторой функции. Тогда по аналогии с формулой (3.1) раздела 5 можно записать

= (3.9)

где x = (t), () = a, =^-1(a) ; () = b,  = ^-1( b).

Пример 3. Вычислить .

Решение. Положив ln(х) = t, имеем dx/x = dt.

Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда