Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Глава 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Пусть x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция этой переменной. y, y, ..., y⁽ⁿ⁾ - производные неизвестной функции. Уравнение, связывающее независимую переменную х с функцией y(x) и ее производными до порядка n включительно, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

F (x, y, y, y, ... , y⁽ⁿ⁾) = 0. (1.1)

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка может не содержать некоторые из величин x, y, y, ... , y^(n-1) или даже все эти величины, но оно обязательно содержит n-ю производную y⁽ⁿ⁾.

Пример 1. y + 2y = 0 - уравнение 1-го порядка, так как наивысший порядок производной равен единице.

Пример 2. y⁽⁴⁾ - y = 0 - уравнение 4-го порядка: входят производные 1-го и 4-го порядков, наивысший порядок производной равен 4.

Решение дифференциального уравнения - это функция y = y₀(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество:

F(x, y₀(x), y₀, ... , y₀⁽ⁿ⁾(x))  0.

Пример 3. Пусть дано уравнение y + y = 0. Покажем, что функция y = sinx является решением этого уравнения.

Имеем y= (sin x) = cosx, y= (cosx)= - sinx. Подставим в уравнение вместо y и y функции sinx и - sinx:

- sin x + sin x  0.

Покажем, что функция y = C₁ cosx + C₂ sinx, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, также является решением данного уравнения. Имеем

y = - C₁ sinx + C₂ cosx; y = - C₁ cosx - C₂ sinx.

Подставим в уравнение выражения y и y:

- C₁ cos x - C₂ sin x + (C₁ cos x + C₂ sin x)  0.

График решения y = y(x) называется интегральной кривой. Задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y, ... , y^(n-1)). (1.2)

Такая запись уравнения называется видом разрешенным относительно старшей производной.

Предполагаем, что функция f определена, однозначна и непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов. Задача нахождения решения y = y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям: при x = x₀

y = y₀, y= y₀, ..., y₀^(n-1) = y_o^(n-1) , (1.3)

где x₀, y₀, y₀, ... , y₀^(n-1) суть заданные числа (начальные данные), называется задачей Коши.

Начальные условия можно записать и так:

Дадим определения общего и частного решений уравнения n-го порядка y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y, ..., y^(n-1)), правая часть которого есть функция определенная и непрерывная в некоторой области G изменения переменных x, y, y,...,y^(n-1). Функция

y = (x,C₁,C₂, ...,C_n), (1.4)

зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных C₁, C₂, ..., C_n, называется общим решением уравнения (1.2) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:

1) функция (1.4) является решением уравнения (1.2) при любых значениях произвольных постоянных C₁, C₂, ...,C_n;

2) каковы бы ни были начальные условия (1.3), существует единственный набор постоянных C₁⁰, C₂⁰, ...,C_n⁰, такой, что функция y= (x,C₁⁰, C₂⁰, ..., C_n⁰) является решением уравнения (1.2) и удовлетворяет начальным условиям (1.3).

Чтобы найти решение уравнения (1.2) с начальными данными x₀, y₀, y₀, y₀^(n-1) из области G, если известно общее решение (1.2) поступают следующим образом:

1. составляют систему уравнений

(1.5)

2) решая систему (1.5), находят C₁⁰, C₂⁰, ..., C_n⁰;

3) подставляют найденные значения произвольных постоянных в общее решение(1.4) и получают искомое решение

y= (x,C₁⁰, C₂⁰, ..., C_n⁰),

которое является искомым единственным решением задачи.

Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде

Ф(x, y,C₁, C₂, ..., C_n) = 0 (1.6)

то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение, получаемое из общего решения (1.4) при конкретных значениях постоянных C₁ = C₁⁰, C₂ = C₂⁰, ..., C_n = C_n⁰, называется частным решением уравнения (1.2).

Пример 4. Дано уравнение y + y = 0. Найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Выше было показано, что функция y= C₁ cos(x) + C₂ sin(x), где C₁, C₂ - произвольные постоянные, является решением данного уравнения. Это общее решение. Для нахождения частного решения используем начальные условия: x₀ = 0, y₀ = 0. Заметим, что при этих условиях y = 1.

Составим систему типа (4.65)

Для заданных начальных условий имеем

Найденные значения C₁⁰, C₂⁰ подставим в общее решение:

y = C₁⁰ cosx + C₂⁰ sinx  y = sinx.

Итак, искомое частное решение уравнения y = sin(x).