5. Метод касательных. Метод хорд. Оценка приближения.

Метод Ньютона (метод касательных)

Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:

Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к корню x^(n+1) есть точка пересечения с осью ОХ касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в точке (x^(n), f(x^(n))).

Теорема о сходимости метода Ньютона

Пусть простой корень уравнения f(x)=0, в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая σ - окрестность корня , что при произвольном выборе

начального приближения x^(0) из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка

Критерий окончания итерационного процесса: при заданной точности  > 0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

Как указано в теореме, метод Ньютона обладает локальной сходимостью, то есть областью его сходимости является малая окрестность корня . Неудачный выбор может дать расходящуюся итерационную последовательность.

Метод Хорд. (метод уточнения корней)

Для реализации данного метода нужно построить исходную функцию и найти значение функции на концах отрезка и . Затем провести хорду M1M2 с концами в точках M1(a, f(a)), M2(b, f(b)). Абсцисса точки пересечения с осью ОХ это и есть приближенный корень . Далее найти точку M3( , f( )). Построить следующую хорду и найти второй приближенный корень . И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Для первого случая (рис. 1), справедлива следующая формула:

И справедливо неравенство: , где ;

Для второго случая (рис.2) справедлива следующая формула:

И справедливо неравенство: , где ;

Условия сходимости метода аналогичны условиям сходимости метода Ньютона.

6. Метод хорд. Оценка приближения.

Метод Хорд. (метод уточнения корней)

Для реализации данного метода нужно построить исходную функцию и найти значение функции на концах отрезка и . Затем провести хорду M1M2 с концами в точках M1(a, f(a)), M2(b, f(b)). Абсцисса точки пересечения с осью ОХ это и есть приближенный корень . Далее найти точку M3( , f( )). Построить следующую хорду и найти второй приближенный корень . И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Для первого случая (рис. 1), справедлива следующая формула:

И справедливо неравенство: , где ;

Для второго случая (рис.2) справедлива следующая формула:

И справедливо неравенство: , где ;

Условия сходимости метода аналогичны условиям сходимости метода Ньютона.

7. Метод итераций. Теорема Банаха.

Метод простой итерации (метод последовательных повторений)

Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение f(x) = 0 преобразовать к виду, удобному для итерации x = φ(x). Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция φ (x) называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

Теорема о сходимости метода простой итерации.

Пусть в некоторой σ – окрестности корна функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где – постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной σ – окрестности иррациональной последовательности не выходит из окрестности, метод сходится со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности ε >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство

Если величина 0 <q<0,5, то можно использовать более простой критерий окончания итераций:

Внимание. Ключевым моментом в применении метода простой итерации является эквивалентное преобразование уравнения к новой форме. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой

итерации, состоит в следующем:

исходное уравнение приводится к виду x = x - α f(x). Предположим дополнительно, что производная f’ непрерывна и

положительна на заданном отрезке, т.е. справедливо выполнение неравенства m ≤ f’(x) ≤ M на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра α = 2/(m+M) метод сходится и значение

Если же известна для производной только оценка сверху, то положим α = 1/ M и q = 1 – m/M – тоже менее единицы.