3 Уравнение Шредингера. Волновая функция, ее свойства и физический смысл.

уравнение Шредингера для стационарных состояний:

где m – масса частицы,i² – мнимая единица, – оператор Лапласа – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ – искомая волновая функция.

Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция (x,y,z,t).

Физический смысл волновой функции. Величина | (x,y,z,t)|²dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).

Волновая функция системы невзаимодействующих частиц (r₁,r₂,...r_n,t) связана с одночастичными волновыми функциями _i(r_i,t) соотношением

(r₁,r₂,...r_n,t) = ₁(r₁,t)· ₂(r₂,t)·... _n(r_n,t).

Свойство нормировки волновой функции

Отметим свойство нормировки волновой функции в частном случае трёхмерного пространства в декартовых координатах. В этом случае зависит от времени t и трёх переменных , являются решением уравнения Шрёдингера) и удовлетворяет условию нормировки:

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией во всем пространстве равна единице.

4 Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Энергетический спектр свободной и связанной частицы.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

 (20)

где m - масса частицы,   - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы,  - оператор Лапласа [ см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/ )t] (21)

где E/ =.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

 (22)

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

Энергетический спектр (закон дисперсии) — зависимость энергии частицы от импульса. Для свободной частицы закон дисперсии изотропен и зависит квадратично от импульса. Такой же параболический закон дисперсии встречается в физике твёрдого тела, поскольку при движении электрона в кристаллах, таких как кремний или арсенид галлия в низкоэнергетическом пределе закон дисперсии имеет параболическую зависимость от квазиимпульса вблизи дна зоны проводимости. В твёрдом теле по аналогии со свободной частицей вводят эффективную массу для частиц, отличную от массы частицы в вакууме и в общем слуае имеет место зависимость этой массы от направления в кристалле. Энергетический спектр частиц в твёрдом теле имеет более сложную структуру по сравнению со свободной частицей. Его знание очень важно для предсказания транспортных, оптических свойств электронного и дырочного газа в полупроводниках. На двумерной гексагональной решётке закон дисперсии линеен по волновому вектору, что делает квазичастицы безмассовыми (см. Зонная структура графена).