4.2 Таблица неопределенных интегралов

; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; .

Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

Пример.

Найдите множество первообразных функции  .

Решение.

Запишем функцию в виде  .

Так как интеграл суммы функций равен сумме интегралов, то

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем  .

Для нахождения второго интеграла   воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции   и правилом  . То есть,  .

Следовательно,    где 

Интегрирование методом подстановки.

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл  .

Решение.

Введем новую переменную  . Выразим х через z:

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем  .

Осталось вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

При интегрировании функций с иррациональностью вида  , где m, n, p – рациональные числа, важно правильно выбрать выражение для введения новой переменной. Смотрите рекомендации в разделе интегрирование иррациональных функций.

Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций. К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.

Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования  .

Вводим новую переменную  , тогда

Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:

Если принять   и вернуться к исходной переменной х, то получим

Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения   и последующем применении формулы  . Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс.

Пример.

Вычислить неопределенный интеграл  .

Решение.

Пусть  , тогда

Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям: 

Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала.

Так как  , то  . Поэтому 

Следовательно,   где  .

Ответ:

.

Интегрирование различных видов функций

1.  Интегрирование дробно-рациональных функций.

Дробно-рациональной функцией называется функция вида

где   и   — многочлены (полиномы) степеней n и mсоответственно:

Если  , то при интегрирование такой дробно-рациональной функции выделяют целую часть а затем интегрируют.

1. 

Алгоритм интегрирования