
- •1.Основные понятия.
- •3. Частные производные.
- •4.2 Таблица неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование.
- •Интегрирование методом подстановки.
- •Интегрирование по частям.
- •1. Выделить полный квадрат в знаменателе
- •2. Свести интеграл к интегралу вида
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона Лейбница
- •Метод прямоугольников.
Функции
нескольких переменных.
1.Основные понятия.
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.
Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.
Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.
Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).
Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.
Например,
функция z=
задана
только при 1-y
>0,
т.е. внутри эллипса y2+4x2<1
с полуосями, а=0,5
и в=1
не включая точки, лежащие на эллипсе.
Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).
Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.
Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.
Например, графиком функции z=4-x2-y2 является параболоид.
Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.
2.Непрерывность функции нескольких переменных.
Определение. Число А называется
пределом функции f(M),
где М(x1,x2,…xn) –
точка n-мерного пространства, при
стремлении точки М к
точке М0(x10,x20,…xn0) любым
образом, если для всякого сколь угодно
малого
>0
существует такое число
>0,
что из условия
<
,
где
-
расстояние между точками М и М0,
следует
<
.
Обозначается:
А
.
Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения
и
.
Получим приращение
функции z=f(x,y).
Если
,
(1)
т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.
Распишем
x0+
y+
-f(x0,y0) и
положим x0+
x=x,y0+
,то
выражение(1) можно записать в виде
f(x,y)=f(x 0,y0),
(2)
т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.