18. Основные положения теории аберраций 3-го порядка.

Для инженерных задач более приемлем расчет, основанный на выводах теории аберраций 3-го порядка.

Величины аберраций можно выразить следующей зависимостью от параметров системы (см. рис.8.9)

g'=f(r, d, n, m , M, l₁…) _(1.24)

G'=f(r, d, n, m , M, l₁…)

  g' - меридиональная слагающая поперечной аберрации;

G'- сагиттальная слагающая поперечной аберрации;

r - радиус кривизны оптической поверхности;

n - показатели преломления среды;

d - расстояние между оптическими поверхностями;

m,M - координаты точки пресечения луча с первой оптической

поверхностью;

l₁ - положение предметной точки относительно оси системы.

Записать эти зависимости в виде формул для любой оптической системы невозможно, поэтому не существует прямого решения задачи, связанной с нахождением конструктивных элементов оптической системы r, d, n по заданным аберрациям g' и G' и положению предметной точки l_1.

Для решения данной проблемы уравнения 1.24 разлагаются в степенные ряды как функции некоторых вспомогательных параметров. Ряды эти начинаются со слагаемых 3-го порядка, затем идут слагаемые 5-го,7-го и более высоких порядков. Коэффициент при слагаемых 3-го порядка имеют не сложные выражения. При слагаемых более высокого порядка они имеют ложный вид и в практической работе неудобны. Поэтому степенные ряды ограничиваются слагаемыми 3-го порядка (отсюда такое название).

Разность между действительными аберрациями и полученными при приближенном расчете составляют сумму высших порядков всего степенного ряда.

Поперечные аберрации могут быть представлены в виде степенных рядов

g' = g_abc m^a  M^b  l₁^c _(1.25)

G'= t_abc m^a  M^b  l₁^c

q,t - постоянные коэффициенты, зависящие от конструкции

оптической системы,

a,b,c - целые числа, сумма которых определяет порядок данного

слагаемого.

Если бы ряды содержали слагаемые 1-го порядка, то они имели бы следующий вид:

g' = q₁₀₀ m + q₀₁₀ M + q₀₀₁l + … _(8.30)

G'= t₁₀₀ m + t₀₁₀ M + t₀₀₁l + …

Это означало бы, что поперечные аберрации рассматриваются в плоскости Q' не совпадающей с плоскостью изображения Q'.

Если бы ряды содержали слагаемые четных порядков, то при замене l, m, M на (-), аберрации g', G' бы имели ту же величину, но изменили бы знак на обратный. Кроме этих имеется еще ряд ограничений.

Для упрощения расчетов вместо m и M вводят полярные координаты:

m = cos 

M = sin 

После этого преобразования уравнения принимают следующий, удобный для расчета вид.

g' = A³cos  + BW²(2+cos 2) + СW²cos  + EW³ _(1.26)

G'= A³ sin  + BW²sin 2 + DW²  sin 

,  - полярные координаты пересечения луча с 1-ой оптической

поверхностью;

W - угол наклона луча и оптической оси.

Коэффициенты А, В, С, D, E - зависят от конструктивных параметров оптической системы. Для того, чтобы выразить коэффициент в удобном для вычисления виде, величины r_к, d_к (радиус и толщина n-ой поверхности) выражают через параметры 2^х вспомогательных лучей проходящих через систему под разными углами через оптическую систему.

1-ый вспомогательный луч проходит через предметную плоскость и

оптическую ось системы под произвольным углом.

2-ой вспомогательный луч проходит через центр зрачка под

произвольным углом и оптической оси.

1^ый и 2^ой вспомогательные лучи лежат в одной плоскости.

После введенных ограничений и преобразований коэффициенты А,В,С,D,E примут следующий вид (с учетом расположения опт. системы в воздухе):

h₁ - расстояние от оси до точки пересечения 1-го вспомогательного

луча с первой оптической поверхностью;

^’_ - tg угла, под которым 1-ый вспомогательный луч выходит из

системы;

_ - tg угла входа в систему 2-го вспомогательного луча;

S₁ - S₅ - суммы Зейделя, которые зависят только от параметров

вспомогательных лучей.

к - номера оптических поверхностей;

_к - tg угла между 1-м вспомогательным лучом и осью системы

в n-ой оптической среде;

_к - tg угла между 2-м вспомогательным лучом и осью системы

в n-ой среде.

Из уравнений 1.26, 1.27 следует, что оптическая система не имеет аберраций 3-го порядка g' = 0.

G'= 0 только в том случае, если все S₁ - S₅ = 0.

S₁ - ответственна за сферическую аберрацию;

S₂ - за кому;

S₃ - астигматизм

S₄ - кривизна изображения;

S₅ - дисторсия.

Если угол наклона луча и оси системы W = 0 , то имеет место одна сферическая аберрация, т.к. только она не зависит от величины W.

В случае, когда лазерный луч расположен соосно с фокусирующей системой и имеет круглую форму, аберрации во всех плоскостях будут одинаковыми. Задача расчета хода лучей превращается из пространственную в плоскую. В этом случае достаточно учесть 1-ое слагаемое одного из выражений (1.26).

g' ,  = 0, cos  = 1 и из 1.27 получим

Знак (-) означает, что положительной координате рассчитываемого луча соответствует отрицательная поперечная аберрация (> 0).

Если принять фокусирующую систему тонкой (d=0), то вспомогательный луч пересечет оптические поверхности на одинаковой высоте, т.е. h_k = h₁ . Если дополнительно наложить условие, что высота h₁ равна F системы и, следовательно, ^’_ =1,то выражение (1.29) упрощается:

F - эквивалентное фокусное расстояние нашей системы.

Эти упрощения при лазерной сварке правомерны, т.к. толщина линз, как правило, значительно меньше радиусов кривизны поверхностей.