2. Теория Диффузии

2.1 Общие понятия

Определение Диффузия – хаотическое (статистическое) перемещение частиц в пространстве, обусловленное только разницей их концентраций в разных областях пространства (градиентами). Наблюдается в газах, жидкостях, твердых телах

Рассматриваем односкоростную –моноэнергетическую.

Длина свободного пробега до поглощения

Λ_a= = (2.1)

Где l_i–участки пробега между столкновениями

Характеризуются углами столкновений в полярных координатах (z,θ)и их косинусом рассеяния cos(θ)и средним косинусомμ=<cos(θ)>

Рис.2.1 Проекция на плоскость примерной траектории диффундирующего нейтрона.

Длины свободных пробегов всех типов реакций связаны с макросечениямиΣкак:

Λ_s= 1/Σ_s (2.2)

Поскольку в среде существуют(как минимум) реакции рассеяния и поглощения, то

Σ_t= Σ_а+Σ_s (2.2a)

И, соответственно:

1/Λ_t=1/Σ_s +1/Σ_a (2.2b)

С математический точки зрения диффузионное приближение –это попытка разложить обобщенный поток нейтронов в окрестности точки z=0 в ряд типа:

F(z) =F₀+z* + **** (2.3)

При этом мы оставляем для себя два первых слагаемых, пренебрегая следующие по порядку малости. Это означает, что мы предполагаем быструю сходимость ряда, что можно выразить для одномерного случая соотношением (полагая Z≈λ):

F₀

Илидля трехмерного

(2.4)

Тогда можно сформулировать главные допущения диффузионной теории:

1. Слабое поглощение (в противном случае градиенты будут велики)

2. Слабая анизотропия : μблизки к 0, т.е. рассеяние во все углы равновероятно(это отдельное предположение, оно не следует из2.4).

3. Допущение корректно ВДАЛИот:

3.а). Источников нейтронов, в том числе твэл

3.б) Поглотителей нейтронов (органы СУЗ и т.п.)

3.в) Границ сред.

Термин ВДАЛИ переводится на математический язык примерно как дальше чем 3*Λ.

Для дальнейших рассмотрений введем ряд понятий (их оценки-выводы можно найти в учебниках Бать и др.).

Для одномерной геометрии Zвведем «Односторонний ток» иток (проекция тока на ось z, СКАЛЯР):

(2.5)

По смыслу «+» ток -это ток нейтронов в направлении выбранной осиz , а «-» ток -в направлении противоположном выбранной оси .

При слабом поглощении и

(2.5а)

Введем для теории диффузии ряд специальных понятий, аналогичных, но не равных общим:

Транспортные сечения:

Транспортное сечениерассеянияΣ_s,tr=Σ_s*(1- μ)

Транспортное сечениеΣ_tr= Σ_а+Σ_s,tr= Σ_а+Σ_s*(1- μ)

Отметим , что приμ=0 (в изотропном случае) Σ_s,trсовпадает сΣ_s , а Σ_tr с Σ_t, однако в реальности, например в водороде μ=0.66 и при Σ_s=20бн, Σ_s,tr = 6.6бн. , т.е. различается в 3 раза!

Введем «коэффициент диффузии» D= 1/3* Σ_tr(вообще-то он получается достаточно строго из применения полиномов Лежандра P_nк уравнению переноса ).

Тогда (2.5.а)приобретает нужный нам вид:

(2.5б)

Физ. смысл односторонних токов можно проиллюстрировать на примере станции метро в спальном районе. Выбираем ось вниз . Утром вниз бегут 100чел/мин (i⁺ ) , вверх 10чел /мин (i^- ). Вечером –наоборот. Тогда можно определить суммарный ток по оси (вектор).

= (i⁺-i^-)*

Где -единичный вектор по оси z,

Ясно, что (i⁺- i^-) при подстановке из (2.5.б) даст (для одномерного случая):

(2.6)

Для трехмерного случая это можно обобщить как:

(2.6а)

Где ∇-векторный оператор.

Как видим, (2.6) является широко известным ЗАКОНОМ Фика, адаптированным теперь и для нейтронной физики. Действительно, нейтроны тоже являются газом.