Определенный интеграл
79) Функция y=f(x)
называется интегрируемой на
этом отрезке, если существует единственное
число I, разделяющее
множества нижних и верхних сумм Дарбу
для всевозможных разбиений отрезка
[a;b]. Если
функция y=f(x)
интегрируема на отрезке [a;b],
то единственное число, разделяющее эти
два множества называют определенным
интегралом функции y=f(x)
по отрезку[a;b]
и обозначают следующим образом:
Пусть на отрезке [a;b] дана ограниченная функция y=f(x). Рассмотрим разбиение T отрезка [a;b] точками деления
a=xo<x1<x2<…..<xn=b. На каждом отрезке разбиения [xk,xk+1] найдем нижнюю и верхнюю грани значения функции y=f(x). В нашем случае mk=Mk=9.
Нижняя сумма Дарбу st=
mk*Δxk
и верхнюю сумму Дарбу
St= Mk* Δxk.
Для того чтобы функция y=f(x), определенная и ограниченная на отрезке [a;b], была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовало разбиение T такое, что St-st<ε, т.е.
9 Δxk- 9 Δxk=0<ε – верно при любом x.
80) Функция Дирихле
-
не является интегрируемой на [0;1].
Док. Каково бы ни было разбиение T,
в любом отрезке разбиения [xk;
xk+1]
обязательно содержится как рациональные,
так и иррациональные точки, поэтому для
любого отрезка
и
.
Тогда все нижние суммы Дарбу
,
поскольку все mk
=0, и все верхние суммы Дарбу
,
т.к.
- длина отрезка [0;1]. Таким образом
множество нижних сумм состоит из одного
числа Х={0}, а множество верхних сумм –
из одного числа Y={1}, так
что любое число из отрезка [0;1] разделяет
множества X и Y.
Т.о. функция Дирихле не является
интегрируемой на отрезке
81) Найдем производную ф-ции
выберем столь малое
тогда
.
Имеем
Далее получим:
где промежуточная точка С находится
между
поэтому:
Т.к.
Т.о.
ч.т.д.
82)Пусть ф-ция y=f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
и F(x) –
первообразная для f(x).
Тогда
Док. Поскольку функ. f(x)
непрерывна на отрезке [a,b],
то она интегрируема на этом отрезке и
имеет на нем первообразную, а именно,
функцию Ф(х). Промеряем
а подставляя х=а, получим
Т.о.
Если F(x) –
другая первообразная для ф-ции f(x),
то выполняется равенство F(x)=Ф(х)+С.
Имеем
83) Интеграл от суммы двух функций
f(x) и g(x)
по отрезку [a,b]
равен сумме интегралов от этих функций
по тому же отрезку:
Док. Из св-в неопределенного интеграла следует, что если F(x) первообразная для ф-ции f(x), а G(x) – первообр. для g(x), то первообразной для суммы функций f(x) + g(x) будет сумма первообразных F(x) и G(x) Следовательно
84) Замена переменной x=-t; t=-x
Несобственные интегралы
85) 1)Несобственным интегралом
ф-ции f(x) на
луче от
называется
конечный предел определенного интеграла
f(x) на [a,b]
при
Обозн.:
Если конечный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл с неограниченным верхним пределом сходится
2) Рассмотрим различные случаи:
(1) а = 1для любого b>0
т.е. конечного предела не существует и несобственный интеграл расходится.
(2) при
для
любого b>0
Т.о. интеграл сходится при a>1
и расходится при
86) 1)Несобственным интегралом ф-ции f(x) не ограниченной слева от т. b называется конечный предел определенного интеграла f(x) на [a;c2].
Обозн.
Если левый предел является конечным,
то говорят, что интеграл от неограниченной
функции слева от верхнего предела
сходится, а если нет, то расходится
(аналогично выводится от неограниченной
справа в т. а
2) Аналогично несобственному интегралу
с бесконечным верхним пределом (см. 85)
Так при
Поскольку
То
значит интеграл сходится при
87)
cos4xdx=limx→+∞
dx-1/4*(sin0)=
limx→+∞
dx
– расходится, т.к.
limx→+∞ dx не существует.
88)
dx=
limx→-∞
=
-0=
- сходится.
89)
=limε→0+0
=limε→0+0(-2
+2
)=2
– сходится.
90)
=limε→0+0(
)=limε→0+0(
)=
=limε→0+0(
)=limε→0+0(
)=+∞
- расходится