Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Карабак Конспект лекций по надежности ИС.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
2.98 Mб
Скачать

1.8 Плотность вероятности f(t) времени безотказной работы т

; - частота отказов.

Здесь - плотность вероятности случайной величины Т или частота отказов.

→ вероятность того, что отказ изделия произойдёт

на интервале времени .

Для плотности вероятности времени безотказной работы Тсправедливо приближённое равенство:

, где - оценкачастотыотказов.

Здесь N - число изделий, поставленных на испытания, - числоотказавших изделий на участке времени (t, t + ∆t).

1.9 Интенсивность отказов λ(t)

Рассмотрим вероятность безотказной работы изделия на промежуткевремени от t до t1 при условии, что изделие до момента времени t неотказывало.

Обозначим эту вероятность через .

Событие А - изделие работало безотказно на интервале, времени от 0 до t.

Событие В - изделие работало безотказно на интервале времени от tдо

АВ - произведение событий А и В. Произведением событий А и Вявляется событие, заключающееся в совместном появлении этих событий.

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А).

Р(В/А) - условная вероятность события В при условии, что событие Апроизошло (имело место).

Р(А) = P(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервалевремени от 0 до t

Р(В/А) = Р(АВ) / Р(А); Р(В/А) =P .

Но вероятность Р(АВ) есть вероятность безотказной работы изделия наинтервале

; т.е. .

Поэтому

.

Вероятность отката изделия на интервале равна

;

Так как , то

;

;

Введём обозначение

;

; - интенсивность отказов.

Прималом ∆tимеем

.

Отсюда .

Из (1.3) видно, что интенсивность отказов представляет собойотношение вероятности отказа на интервале (t, t + At) к длине этогоинтервала (при малом ∆t).

Из (1.1) имеем

.

Из (1.2) имеем

.

Отсюда ;

или

; ;

или

Для практически важного частного случая ; формула принимает вид

Формула называется экспоненциальным законом надёжности. На практике этот закон ввиду его простоты нашёл широкое применение при расчёте надёжности изделий.

График функции λ(t):

1 - й участок - период приработки изделия.

2-й участок - период нормальной работы.

3-й участок - период старения или износа изделия.

1.9.1 Определение интенсивности отказов a.(t) по результатам испытаний

Интенсивность отказов λ(t) может быть определена по результатам испытаний. Пусть на испытания поставлено N изделий. Пусть n(t) – число изделий, не отказавших к моменту времени t. Тогда:

;

; ;

;

где ∆n(t) - число отказавших изделий на интервале времени (t, t + ∆t). Тогда:

или

1.10 Числовые характеристики надёжности

Рассмотренные количественные характеристики надёжности являются функциями времени. Для определения этих характеристик на основе опытных данных с достаточной точностью требуется большой объём испытаний. Более просто найти числовые характеристики надёжности. К ним относятся:

1) среднее время безотказной работы;

2) дисперсия времени безотказной работы;

Определим среднее время безотказной работы или математическое ожидание случайной величины Т. Имеем

Величина также называется средняя наработка на отказ.

Известно, что . Тогда:

.

Этот интеграл можно вычислить по частям

;

u=t; ;

du=dt; v = P(t);

;

т.к. P(t) при убывает быстрее, чем растёт t.

Для экспоненциального закона надёжности имеем:

;

.

Итак, для экспоненциального закона надёжности среднее время безотказной работы есть величина, обратная интенсивности отказов.

Приближённое значение можно определить по формуле , где

Здесь ti- время безотказной работы i - го изделия; N- общее число изделий, поставленных на испытания.

Определим дисперсию времени безотказной работы. Имеем

;

.

Интеграл берём по частям

u = t2; dv = P'(t)dt;

du = 2tdt; v = P(t);

;

Для экспоненциального закона надёжности имеем:

; ;

.

Интеграл берём по частям:

u = t; dv = dt;

du = dt; ;

;

; ;

Дисперсия Dtхарактеризует степень разброса значений относительно .

На основании результатов испытаний можно определить приближённое значение дисперсии

;

где .